Для электрической цепи выполнить следующее: 1. Составить систему уравнений для расчета токов во всех ветвях

Для электрической цепи выполнить следующее: 1. Составить систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы методом законов Кирхгофа, не решая её. 2. Упростить схему, преобразовав её в эквивалентную схему с двумя узлами путем замены пассивного «треугольника» сопротивлений в эквивалентную «звезду». 3. Определить токи в упрощенной схеме методом узлового напряжения. 4. Возвратиться к исходной схеме и из уравнений, составленных по законам Кирхгофа определить остальные токи. 5. Проверить баланс мощностей. Рис. 1 Дано R1=2 Ом R2=2 Ом R3=4 Ом R4=10 Ом R5=10 Ом R6=10 Ом E1=12 В E2=24 В E3=12 В

В приведенной электрической цепи (рис. 1) четыре узла, шесть ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях методом законов Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов.
Узел a: -I1+I4+I6=0
Узел b: I2-I4-I5=0
Узел c: I3+I5-I6=0
Контур adb: I1R1+I2R2+I4R4=E1+E2
Контур bdc: -I2R2+I3R3-I5R5=-E2+E3
Контур abc: -I4R4+I5R5+I6R6=0
2. Изображенная схема на рис. 1 – четырехузловая. Выделим треугольник abc пассивных элементов и преобразуем его в эквивалентную звезду.
R45=R4∙R5R4+R5+R6=10∙1010+10+10=3,333 Ом
R46=R4∙R6R4+R5+R6=10∙1010+10+10=3,333 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=10∙1010+10+10=3,333 Ом
В результате преобразований получена двухузловая схема на рис . 2.
Рис. 2
Рассчитываем проводимости ветвей схемы рис. 3:
G1=1R1+R46=12+3,333=0,188 См
G2=1R2+R45=12+3,333=0,188 См
G3=1R3+R56=14+3,333=0,136 См
Определяем величину напряжения между узлами «d» и «0»:
Ud0=E1G1-E2G2-E3G3G1+G2+G3=12∙0,188-24∙0,188-12∙0,1360,188+0,188+0,136=-7,6 В
Токи в ветвях схемы определяем по обобщенному закону Ома:
I1=E1-Ud0∙G1=12--7,6∙0,188=3,675 А
I2=E2+Ud0∙G2=24-7,6∙0,188=3,075 А
I3=E3+Ud0∙G3=12-7,6∙0,136=0,6 А
Выполняем проверку правильности расчета по первому закону Кирхгофа:
I1-I2-I3=0
3,675-3,075-0,6=0
Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа определяем остальные токи.
Для контура adb:
I1R1+I2R2+I4R4=E1+E2
I4=E1+E2-I1R1-I2R2R4=12+24-3,675∙2-3,075∙210=2,25 А
Для узла b:
I2-I4-I5=0
I5=I2-I4=3,075-2,25=0,825 А
Для узла a:
-I1+I4+I6=0
I6=I1-I4=3,675-2,25=1,425 А
Сумма мощностей источников:
ΣPист=E1I1+E2I2+E3I3=12∙3,675+24∙3,075+12∙0,6=125,1 Вт
Сумма мощностей приемников:
ΣPпр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=3,6752∙2+3,0752∙2+0,62∙4+2,252∙10+0,8252∙10+1,4252∙12=125,1 Вт
Баланс мощностей:
ΣPист=ΣPпр
125,1 Вт=125,1 Вт

. 2.
Рис. 2
Рассчитываем проводимости ветвей схемы рис. 3:
G1=1R1+R46=12+3,333=0,188 См
G2=1R2+R45=12+3,333=0,188 См
G3=1R3+R56=14+3,333=0,136 См
Определяем величину напряжения между узлами «d» и «0»:
Ud0=E1G1-E2G2-E3G3G1+G2+G3=12∙0,188-24∙0,188-12∙0,1360,188+0,188+0,136=-7,6 В
Токи в ветвях схемы определяем по обобщенному закону Ома:
I1=E1-Ud0∙G1=12--7,6∙0,188=3,675 А
I2=E2+Ud0∙G2=24-7,6∙0,188=3,075 А
I3=E3+Ud0∙G3=12-7,6∙0,136=0,6 А
Выполняем проверку правильности расчета по первому закону Кирхгофа:
I1-I2-I3=0
3,675-3,075-0,6=0
Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа определяем остальные токи.
Для контура adb:
I1R1+I2R2+I4R4=E1+E2
I4=E1+E2-I1R1-I2R2R4=12+24-3,675∙2-3,075∙210=2,25 А
Для узла b:
I2-I4-I5=0
I5=I2-I4=3,075-2,25=0,825 А
Для узла a:
-I1+I4+I6=0
I6=I1-I4=3,675-2,25=1,425 А
Сумма мощностей источников:
ΣPист=E1I1+E2I2+E3I3=12∙3,675+24∙3,075+12∙0,6=125,1 Вт
Сумма мощностей приемников:
ΣPпр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=3,6752∙2+3,0752∙2+0,62∙4+2,252∙10+0,8252∙10+1,4252∙12=125,1 Вт
Баланс мощностей:
ΣPист=ΣPпр
125,1 Вт=125,1 Вт