Для изготовления различных изделий А и В используют три вида сырья. На производство единицы

Для изготовления различных изделий А и В используют три вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить 6 килограмм сырья первого вида, 5 килограмм сырья второго вида, 7 килограмм сырья третьего вида. На производство единицы изделия В требуется затратить соответственно 3, 4, 3 килограмм сырья первого, второго и третьего вида. Производственные запасы сырья первого вида составляют 300 килограмм, второго вида 260 килограмм и третьего вида 400 килограмм. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 рубля, готового изделия В – 6 рублей. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. 1. Дать геометрическое истолкование задачи и решить ее графически. 2. Решить задачу симплексным путем преобразования симплекс-таблиц.

Построим математическую модель задачи.
Пусть – количество изделий ; – количество изделий .
Используя данные расхода сырья на единицу изделий и , получим следующие ограничения:
или ;
;
.
Запишем целевую функцию для оптимального плана реализации (максимальная прибыль от реализации), используя значения прибыли:
.
Учитывая неотрицательность количества изделий и , получим: , .
Следовательно, получим такую математическую модель задачи:
;
, .
1). Решим задачу графическим методом.
На координатной плоскости построим граничные прямые всех полуплоскостей решений, которые пройдут через точки:
, , ;
, , ;
, , .
Для того, чтобы найти с какой стороны от граничных прямых лежат полуплоскости решений, возьмем точку и будем подставлять её координаты в каждое из неравенств

. В результате получим многоугольник решений. Исходя из рисунка, многоугольником решений есть пятиугольник .
Для определения точек экстремума используем вектор нормали , построенный по целевой функции. Строим вектор нормали, начало которого в точке (0;0), конец – в точке (4;6) или (40;60).
Проводим линию уровня , перпендикулярную к вектору нормали. При параллельном переносе линии уровня в направлении вектора нормали находим самую дальнюю вершину многоугольника решений. Исходя из рисунка, такой точкой есть – максимум.
Находим значение функции в точке (максимальное значение):
.
2. Решаем полученную задачу симплексным методом.
Вводим в базис три вспомогательные базисные переменные , и записываем полученную каноническую модель задачи линейного программирования:
;
2