Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием. Виды сырья Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие Общее количество сырья (кг) А В I 12 4 305 II 4 4 125 III 3 12 257 Прибыль от реализации одного изделия (тыс. руб.) 30 40 Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль от реализации всех изделий является максимальной.

Обозначим через x1 и количество изделий А и В, которое необходимо производить (это искомые переменные величины). Имеющиеся ресурсы зададим в виде ограничений, выраженных неравенствами:
12x1+4x2≤3054x1+4x2≤1253x1+12x2≤257x1≥0x2≥0
Первые три ограничения получены из условий, что количество сырья I, II и III при производстве изделий А и В не должно превышать имеющегося запаса 305, 125 и 257 кг, соответственно.
Последние два ограничения показывают, что количество изделий А и В не должно быть отрицательным.
Целевая функция выражает прибыль от реализации произведенной продукции и имеет вид Z=30x1+40x2.
Таким образом, имеется задача ЛП, которая состоит в определении оптимальных значений x1 и , являющихся неотрицательными числами, удовлетворяющих линейным неравенствам и дающих максимальное значение целевой функции.
Для изображения многоугольника решений системы неравенств необходимо построить графики всех ограничений

. Стороны многоугольника располагаются на прямых, уравнения которых получаются, если в системе знаки неравенства заменить на равенства. Сам многоугольник есть пересечение полуплоскостей, на которые делит плоскость каждая из получаемых прямых.
386715654050А
B
C
D
O
4x1+4x2=125
12x1+4x2=305
3x1+12x2=257
А
B
C
D
O
4x1+4x2=125
12x1+4x2=305
3x1+12x2=257
Прямую 4x1+4x2≤125, получаемую из второго неравенства, удобно провести, соединяя пару подходящих точек, например x1=0; x2=31,25 и x1=31,25; x2=0 (рисунок 1).
182435529902159296401647190
Рисунок 1 – Область допустимых решений и линия целевой функции
В силу ограничения 4x1+4x2≤125 все допустимые решения задачи располагаются по одну сторону от прямой, описываемой уравнением 4x1+4x2=125. Нужную полуплоскость можно найти, проверив, удовлетворяет ли начало координат рассматриваемому ограничению