Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует три вида древесины. Нормы затрат каждого

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует три вида древесины. Нормы затрат каждого вида древесины на один стол – 2, 1 и 4 у.е.; на один шкаф – 1, 3 и 5 у.е. соответственно. Объёмы древесины на фабрике соответственно равны 40, 60 и 107 у.е. Прибыль от реализации одного стола составляет 600 рублей, от одного шкафа – 900 рублей. Найти оптимальный план производства, обеспечивающий максимальную прибыль: а) (3 б) записать математическую модель; б) (7 б) решить задачу графическим методом.

Введем переменные задачи: х1 – объем производства столов, х2 – объем производства шкафов.
Затраты древесины каждого вида с учетом ограничений
2х1 + х2 ≤40;
х1 + 3х2 ≤60;
4х1 + 5х2 ≤107.
Целевая функция – прибыль
Z(X) = 600 х1 + 900х2.
Отрицательное число столов и шкафов производить невозможно (во всяком случае крайне затруднительно). В итоге для максимизации прибыли получим следующую задачу.
Задачу линейного программирования с двумя переменными можно решить графически.
Каждому ограничению-неравенству системы ограничений в координатной плоскости Ох1х2 соответствует полуплоскость, ограниченная прямой с уравнением, полученным из неравенства заменой знака на знак «равно»

. В данном примере это прямые с уравнениями
Построим эти прямые.
1: Через точки (20; 0) и (0; 40).
2: Через точки (60; 0) и (0; 20).
3: Через точки (26,75; 0) и (0; 21,4).
На рисунке прямые пронумерованы.
Определим для каждого ограничения соответствующую полуплоскость, подставив в неравенства точку (0,0).
1: – верно. Нужная полуплоскость содержит начало координат.
2: – верно