Экономист, изучая зависимость уровня Y (тыс. руб.) издержек oбpaщения от объема X (тыс. руб.)

Экономист, изучая зависимость уровня Y (тыс. руб.) издержек oбpaщения от объема X (тыс. руб.) товарооборота, обследовал по 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров в 5 районах. Полученные данные отражены в таблице 3. Задание Для каждого из районов (в каждой задаче) требуется: найти коэффициенты корреляции между X и Y ; построить регрессионные функции линейной зависимости Y = a + b * X фактора Y от фактора X и исследовать их на надежность по критерию Фишера при уровне значимости 0,05; найти коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X ; определить надежность коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента: найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии; построить график регрессионной функции и диаграмму рассеяния; используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при X = 140 тыс. руб. Таблица 3 13 X тыс. руб. Y тыс. руб. 155 11,5 120 9,3 110 9,2 80 6,4 90 7,5 130 11,6 150 13,1 70 5,2 100 7,9 60 4,4

Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.  Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Следовательно, связь между признаком Y фактором X прямая, весьма высокая.
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты

155 11,5 1782,5 24025 132,25 12,7893
120 9,3 1116 14400 86,49 9,77332
110 9,2 1012 12100 84,64 8,9116
80 6,4 512 6400 40,96 6,32644
90 7,5 675 8100 56,25 7,18816
130 11,6 1508 16900 134,56 10,635
150 13,1 1965 22500 171,61 12,3585
70 5,2 364 4900 27,04 5,46472
100 7,9 790 10000 62,41 8,04988
60 4,4 264 3600 19,36 4,603
Итого 1065 86,1 9988,5 122925 815,57 86,1
Средние значения 106,5 8,61 998,85 12292,5 81,557 8,61
30,8261 2,72487
950,25 7,4249
Найдем компоненты 1МНК :

Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемобъема товарооборота на 1 тыс.руб

. уровень выработки возрастает в среднем на 0,086 тыс.руб.
Коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 95% вариации уровня выработки объясняется вариацией объема товарооборота, а 5% зависит от вариации не учтенных в модели факторов .
Фактическое значение Fфакт определяется по формуле:
Табличное значение Fфакт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,05, k1 = m = 1 и k2 = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 равно 5,318 (m – число параметров при переменной х).
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
Найдем коэффициент эластичности Y по X при среднем значении X
Увеличение объема товарооборота (от своего среднегозначения) на 1% увеличивает в среднем уровень издержек oбpaщения на 1,07%.
Оценку статистической значимости параметров регрессии икорреляции проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,05 составит tтабл = 2,31.
Далее рассчитываем по каждому из параметров его стандартные ошибки: , и .
Фактическое значение статистик
, ,
Фактическое значение статистики превосходит табличноезначение:, поэтому параметр не случайно отличается от нуля, а статистически значим