Фирма производит и продает два типа товаров. Фирма получает прибыль в размере c1 = 11 тыс.

Фирма производит и продает два типа товаров. Фирма получает прибыль в размере c1 = 11 тыс. р. от производства и продажи каждой единицы товара 1 и в размере c2 = 5 тыс. р. от производства и продажи каждой единицы товара 2. Фирма состоит из трех подразделений. Затраты труда (человеко-дни) на производство этих товаров в каждом из подразделений указаны в таблице. Подразделение Трудозатраты, чел-дней на 1 шт. товар 1 товар 2 1 5 3 2 2 2 3 5 4 Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма будет располагать следующими возможностями обеспечения производства трудозатратами: D1 = 1000 чел-дней в подразделении 1, D2 = 600 – в подразделении 2 и D3 = 1900 – в подразделении 3. Составить задачу линейного программирования и найти ее решение.

Составляем математическую модель нашей задачи.
Обозначаем количества производимых и продаваемых товаров:
x1 – количество производимых и продаваемых товаров 1 (штук);
x2 – количество производимых и продаваемых товаров 2 (штук).
При этом прибыль фирмы составляет F = 11·x1 + 5·x2 тыс. р.
Целью решения задачи является определение среди всех допустимых таких значений x1 и x2, которые обеспечивают наибольшую прибыль.
Рассмотрим ограничения задачи.
Количества производимых и продаваемых товаров не могут быть отрицательными, поэтому x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Кроме того, по смыслу задачи, x1 и x2 – целочисленные.
Другие ограничения задачи связаны с имеющимися возможностями обеспечения производства трудозатратами по подразделениям.
Математическая запись указанных ограничений такова:
5·x1 + 3·x2 ≤ 1000 – имеющиеся возможности обеспечения производства трудозатратами по подразделению 1, чел-дней;
2·x1 + 2·x2 ≤ 600 – имеющиеся возможности обеспечения производства трудозатратами по подразделению 2, чел-дней;
5·x1 + 4·x2 ≤ 1900 – имеющиеся возможности обеспечения производства трудозатратами по подразделению 3, чел-дней

.
В целом соотношения математической модели задачи об оптимальных количествах производимых и продаваемых товаров выглядят следующим образом:
F = 11·x1 + 5·x2 max
при ограничениях
5·x1 + 3·x2 ≤ 1000;
2·x1 + 2·x2 ≤ 600;
5·x1 + 4·x2 ≤ 1900;
xj ≥ 0; xj – целочисленные; j = 1,2.
Задача имеет две переменные, поэтому ее можно решать графическим методом.
В системе координат x1Ox2 строим область допустимых решений (ОДР) системы неравенств. Для этого неравенства системы заменяем равенствами и получаем уравнения прямых, образующих границу ОДР. При построении прямые выделяем цветом.
Определяем множество решений первого неравенства 5·x1 + 3·x2 ≤ 1000. Решением уравнения 5·x1 + 3·x2 = 1000 являются точки (–22; 370) и (212; –20). По этим точкам строим прямую, выделенную синим цветом. Множество решений строгого неравенства 5·x1 + 3·x2 < 1000 определяем при помощи проверочной точки (0; 0), координаты которой подставляем в неравенство. Так как неравенство выполняется, то стрелки на прямой направляем в сторону точки (0; 0).
Определяем множество решений второго неравенства 2·x1 + 2·x2 ≤ 600