Фирма производит некоторый товар. Объем производства зависит от затрат ресурсов следующим образом (другие расходы

Фирма производит некоторый товар. Объем производства зависит от затрат ресурсов следующим образом (другие расходы не учитываются) FK,L=K1/2L1/4. Вектор цен на ресурсы PKL=20;80, цена товара PP=100 (у.д.е). Определить оптимальный объем ресурсов в долгосрочном периоде планирования, максимизирующий прибыль предприятия, и размер получаемой прибыли. Осуществить проверку полученного решения.

Функция прибыли:
PRK,L=PP∙FK,L-PK∙K+PL∙L
PRK,L=100∙K0,5L0,25-20∙K+80∙L→max
PRK,L→100∙K0,5L0,25-20∙K-80∙L→max
Нахождение частных производных
MKK,L=dPRK,LdK; MLK,L=dPRK,LdL;
MKK,L=50∙L0,25K0,5-20;
MLK,L=25∙K0,5L0,75-80;
Решим систему линейных уравнений.
50∙L0,25K0,5-20=0;25∙K0,5L0,75-80=0;50∙L0,25K0,5=20;25∙K0,5L0,75=80;L0,25K0,5=0,4;K0,5L0,75=3,2;K=4,88L=0,61
Найдем вторые производные:
d2PRK,LdK2=25∙L0,25K1,5; d2PRK,LdL2=18,75∙K0,5L1,75;
d2PRK,LdKdL=12,5L0,75K0,5; d2PRK,LdLdK=12,5K0,5L0,75.
Матрица Гессе примет вид:
H=25∙L0,25K1,512,5L0,75K0,512,5L0,75K0,518,75∙K0,5L1,75=2,04958,19798,197917,4397
Главные миноры ∆1=2,0495 и ∆2=-31,4634.
Так как ∆1>0 и ∆2<0, то квадратичная форма определена положительно и в данной точке достигается максимум.