Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a. 2

Ниже приведены 50 значений случайной величины X, а также вычисленные по выборке среднее a и среднее квадратическое s. Используя критерий хи-квадрат, определить, будет ли X нормальной случайной величиной. В качестве уровня значимости взять вероятность 0,2. 75,80 87,62 80,93 75,94 84,80 80,19 91,43 78,64 81,02 70,35 67,86 75,48 74,99 85,23 78,68 88,48 64,75 74,14 90,65 96,54 77,95 84,15 64,21 75,51 82,06 65,40 76,34 85,67 81,10 81,49 72,97 68,22 80,63 70,01 86,28 86,80 80,04 67,90 81,56 79,34 92,18 86,29 70,11 74,67 71,10 72,39 70,43 78,57 85,75 77,60 a = 78,60 s = 7,636

Объем выборки n = 50.
Минимальное значение хmin = 64,21; максимальное значение хmах = 96,54;
размах: 96,54 – 64,21 = 32,33.
Проведем группировку исходных данных. Количество интервалов подсчитаем по формуле Стерджесса: k = 1+3,322∙lg n k = 1+3,322∙lg 50 7.
Так как вычисленное количество интервалов – 7, то выборку разобьем на 7 равных интервалов. Величина отдельного интервала: .
Получим интервалы:
№п.п лев.граница прав.граница
1 64,21 68,83
2 68,83 73,45
3 73,45 78,07
4 78,07 82,69
5 82,69 87,31
6 87,31 91,93
7 91,93 96,55

Подсчитаем частоту ni по каждому интервалу. Получим:
№п.п лев.граница прав.граница Частота
1 64,21 68,83 6
2 68,83 73,45 7
3 73,45 78,07 10
4 78,07 82,69 13
5 82,69 87,31 8
6 87,31 91,93 4
7 91,93 96,55 2
Проведем проверку гипотезы Н0 : генеральная совокупность распределена по нормальному закону; конкурирующая гипотеза: Н1 генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.
Используем критерий Пирсона; уровень значимости = 0,2.
Числовые характеристики выборки: 78,60, s = 7,636.
Найдем значения теоретических частот

.
Для определения теоретических частот нормального распределения составим таблицу, в которую занесем такие графы: интервалы, частоты , значения значения функции Лапласа Ф(х) в этих значениях и , т.е и , которые находим по таблицам значений функции Лапласа; затем в графе рi вычисляем вероятность
рi =
попадания в интервал ; в графе nрi находим произведение 50·рi и, наконец, в графузаносим теоретические частоты , округляя значения .
I αi-1 αi рi
1 - ∞ 68,83 6 - ∞ -1,31 -0,5 -0,4049 0,0951 4,7549 5
2 68,83 73,45 7 -1,31 -0,69 -0,4049 -0,2549 0,1500 7,5000 7
3 73,45 78,07 10 -0,69 -0,06 -0,2549 -0,0239 0,2310 11,5490 12
4 78,07 82,69 13 -0,06 0,56 -0,0239 0,2123 0,2362 11,8091 12
5 82,69 87,31 8 0,56 1,18 0,2123 0,3810 0,1687 8,4370 8
6 87,31 91,93 4 1,18 1,81 0,3810 0,4649 0,0839 4,1926 4
7 91,93 + ∞ 2 1,81 + ∞ 0,4649 0,5000 0,0351 1,7574 2
Применяем критерий χ2 – Пирсона