Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами a (математическое ожидание) и (среднее квадратическое

Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами a (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется: а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график; б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (;); найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на ; в) применяя правило « 3» найти крайние (допустимые) значения случайной величины Х. Решение проверить в MathCad. Дано: a=9, σ=5, α=4, β=12, δ=2,5.

А) Нормальная случайная величина имеет плотность
fx=12πσe-x-a22σ2, -∞<x<+∞.
fx=152πe-x-9250
1. Функция fx определена на всей числовой оси.
2. При все значениях x функция принимает положительные значения (нормальная кривая расположена над осью Ox).
3. Предел функции при неограниченном возрастании x (по абсолютной величине) равен 0:
limx→∞y=limx→∞152πe-x-9250=152πe-∞=0.
4. Исследуем на экстремум.
Первая производная:
y'=152πe-x-9250'=152π∙-x-925e-x-9250
y'=0 при x=9
y'>0 при x<9 – функция возрастает.
y'<0 при x>9 – функция убывает.
В точке x=9 максимум:
f9=152πe-9-9250=152π
5 . Т.к. x-9 содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, график функции fx симметричен относительно прямой x=9.
6. Исследуем на точки перегиба.
Вторая производная:
y''=152π∙-x-925e-x-9250'=
=152π∙-125e-x-9250+-x-925-x-925e-x-9250=
=-125∙152π∙e-x-92501-x-9225=
=-125∙152π∙e-x-92501-x-951+x-95.
Вторая производная равна нулю при:
x=9+5=14;x=9-5=4.
При переходе через эти точки вторая производная меняет знак:
x<4, y''>0 – функция вогнута;
4<x<14, y''<0 – функция выпукла;
x>14, y''>0 – функция вогнута.
Значение функции в этих точках:
f4=f14=152πe.
Следовательно, точки перегиба:
4;152πe;14;152πe.
б) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины интервал (α;β) определяется по формуле:
Pα<X<β=Φβ-aσ-Φα-aσ,
где Φx – интегральная функция Лапласа Φx=12π-∞xe-x2/2dx

. Т.к. x-9 содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, график функции fx симметричен относительно прямой x=9.
6. Исследуем на точки перегиба.
Вторая производная:
y''=152π∙-x-925e-x-9250'=
=152π∙-125e-x-9250+-x-925-x-925e-x-9250=
=-125∙152π∙e-x-92501-x-9225=
=-125∙152π∙e-x-92501-x-951+x-95.
Вторая производная равна нулю при:
x=9+5=14;x=9-5=4.
При переходе через эти точки вторая производная меняет знак:
x<4, y''>0 – функция вогнута;
4<x<14, y''<0 – функция выпукла;
x>14, y''>0 – функция вогнута.
Значение функции в этих точках:
f4=f14=152πe.
Следовательно, точки перегиба:
4;152πe;14;152πe.
б) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины интервал (α;β) определяется по формуле:
Pα<X<β=Φβ-aσ-Φα-aσ,
где Φx – интегральная функция Лапласа Φx=12π-∞xe-x2/2dx