Определить температуры в центре и на поверхности пластины толщиной или стержня или шара диаметром

Определить температуры в центре и на поверхности пластины толщиной или стержня или шара диаметром d через минут после начала охлаждения, начальная температура окружающего воздуха tж, коэффициент теплопроводности материала , коэффициент температуропроводности a, коэффициент теплоотдачи на поверхности пластины и стержня . Определить максимальную разность температур между серединой и поверхностью tmax. Дано: Шар d = 10 мм = 0,6 Вт/м К t0 = 250 C tж = 30 C a = 0.4*10-6 м2/c = 50 Вт/м2 К = 6 минут

Для шара одномерное температурное поле является функцией от координаты (для шара 0<R <1) и от безразмерных комплексов:
- числа Био
Bi= α*rλ= 50*0,0050,6=0,416
где , Вт/м2 ∙К – коэффициент теплоотдачи; λ, Вт/м ∙К – коэффициент теплопроводности; r, м – определяющий размер;
- числа Фурье
Fo= α*τr2= 0.4*10-6*3600.0052=5.76
где м2/с – коэффициент температуропроводности; с, Дж/кг∙К – удельная теплоемкость; - плотность; , с – время.
Определяющим размером для шара является радиус r
При нагреве или охлаждении максимальная и минимальная температуры имеют место на поверхности или в центре тел (для шара R=1 или R=0) . Определить эти температуры можно с помощью графиков, приведенных в [4]:
для шара - рис. 3.13, 3.14 с. 96.
По этим графикам, зная числа Fo и Bi, определяется безразмерная температура :
Θ=t-tж(tн-tж),(2.1)
где tн – начальная температура тела (при =0); tж – температура среды, в которой происходит нагрев или охлаждение тела; t – искомая температура в центре или на поверхности тела.
На приведенных графиках рис.3.13 и 3.14 линии Fo=5.76 и Bi=0,416 не пересекаются, и безразмерная температура Θ 0 стремится к нулю.
Согласно (2.1) искомая температура рассчитывается по формуле
t=tж+Θ(tн-tж)
Для центра
t1=tж+Θr=0(tн-tж) = 30 + Θr=0 (250-30) = 30 + 220*0 = 30 С
Для поверхности
t2=tж+Θr=r0(tн-tж) 30 + 0 (250-30) = 30 С
Ответ: t1=t2=30 С
33105584122476003349017156129900510065053113710.857
0200000.857
332549553848000033248605384800003735070272732500373507021272500
Литература:
Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С

. Определить эти температуры можно с помощью графиков, приведенных в [4]:
для шара - рис. 3.13, 3.14 с. 96.
По этим графикам, зная числа Fo и Bi, определяется безразмерная температура :
Θ=t-tж(tн-tж),(2.1)
где tн – начальная температура тела (при =0); tж – температура среды, в которой происходит нагрев или охлаждение тела; t – искомая температура в центре или на поверхности тела.
На приведенных графиках рис.3.13 и 3.14 линии Fo=5.76 и Bi=0,416 не пересекаются, и безразмерная температура Θ 0 стремится к нулю.
Согласно (2.1) искомая температура рассчитывается по формуле
t=tж+Θ(tн-tж)
Для центра
t1=tж+Θr=0(tн-tж) = 30 + Θr=0 (250-30) = 30 + 220*0 = 30 С
Для поверхности
t2=tж+Θr=r0(tн-tж) 30 + 0 (250-30) = 30 С
Ответ: t1=t2=30 С
33105584122476003349017156129900510065053113710.857
0200000.857
332549553848000033248605384800003735070272732500373507021272500
Литература:
Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С