Построить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, при надежности γ=0,95 построить соответствующие

Построить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, при надежности γ=0,95 построить соответствующие доверительные интервалы и, используя 2-критерий Пирсона асимптотического уровня значимости α=0,05 проверить гипотезу о нормальности оценок. В первой строке таблицы указаны Xi, i=1, …, 10 – левые границы десяти интервалов группировки, в второй строке Xi, i=2, …, 11 – правые границы. В третьей сроке указано количество элементов выборки, попавших на данный интервал.

Объем выборки n = 3 + 9 + 20 + 32 + 43 + 45 + 28 + 13 + 5 + 2 = 200.
В случае группированной выборки точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности Xn,gr рассчитывается по формуле
Xn,gr=i=110Xi*∙pi
10 – количество интервалов группировки
Xi* – середины интервалов группировки
pi=din
– частоты, di – количество элементов выборки, попавших в соответствующий интервал
Составляем вспомогательную таблицу, в которой находим Xi* и pi. Для расчетов используем MS Excel
В результате расчета получаем
Xn,gr=-0,0411
Точечная оценка дисперсии генеральной совокупности по группированной выборке
Sn,gr2=110Xi*2∙pi-Xn,gr2

Получаем
Sn,gr2=1,2205--0,04112=1,2188
Доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности при надежности γ=0,95 имеет вид
Xn,gr-t1+2∙Sn,gr n ; Xn,gr+t1+2∙Sn,gr n
Xn,gr=-0,0411 и Sn,gr2 =1,2188 найдены выше;
t1+2=t1+0,952=1,96 – квантиль функции распределения (t) стандартного нормального закона при γ=0,95

. Найден по таблице значений функции (t).
Получаем интервал
In,E,gr=-0,0411-1,96∙1,2188200 ; -0,0411+1,96∙1,2188200
In,E,gr=(-0,1941;0,1119)
Для расчета доверительного интервала для дисперсии нужно найти величину асимптотической дисперсии ∆n, gr2:
∆n, gr2=110Xi*4∙pi-4110Xi*3∙pi∙Xn,gr+8110Xi*2∙pi∙Xn,gr2-
-4Xn,gr4-110Xi*2∙pi2
Получаем
∆n, gr2=4,2293-4∙-0,1477∙-0,0411+8∙1,2205∙-0,04112-
-4∙-0,04114-1,22052
∆n, gr2=2,7319
Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности при надежности γ=0,95 имеет вид
Sn,gr2-t1+2∙∆n,grn ; Sn,gr2+t1+2∙∆n,grn
Sn,gr2 =1,2188
t1+2=t1+0,952=1,96
Получаем интервал
In,D,gr=1,2188-1,96∙2,7319n ; 1,2188+1,96∙2,7319n
In,D,gr=0,990 ;1,448
Таким образом, Xn,gr=-0,0411
Sn,gr2=1,2188
In,E,gr=-0,1941;0,1119
In,D,gr=0,990 ;1,448
Проверяем гипотезу H0: генеральная совокупность имеет нормальное распределение против альтернативной гипотезы H1: распределение случайной величины X не является нормальным.
Уровень значимости α=0,05.
Для проверки гипотезы используем критерий Пирсона