Прядильно-ниточное предприятие выпускает нитки с лавсаном (н/л) и нитки с капроном (н/к), для изготовления. 2

Прядильно-ниточное предприятие выпускает нитки с лавсаном (н/л) и нитки с капроном (н/к), для изготовления которых использует хлопок I сорта (хл.1), а также и хлопок II сорта (хл.2). На изготовление 1 тонны (н/л) требуется 51 кг (хл.1) и 6 кг (хл.2), на изготовление 1 т (н/к) требуется 14 кг (хл.1) и 161 кг (хл.2). Запасы хлопка на предприятии составляют соответственно: 399 кг - (хл.1) и 525 кг - (хл.2). Прибыль от реализации 1 т (н/л) составляет 945 у. е., а от реализации 1 т (н/к) - 2331 у. е. Какой должен быть план производства, чтобы суммарная прибыль оказалась максимальной?

Возможная формулировка двойственной задачи. В условиях поставленной задачи требуется определить такие условные цены на 1 кг хлопка 1 сорта (хл.1), и 1 кг хлопка 2 сорта (хл.2), чтобы не потерять доход, продав его, не производя ниток, и чтобы при этом суммарные затраты покупателей оказались минимальными. Составляем исходную и двойственную задачи:
Здесь х1 – объем производства ниток с лавсаном, а х2 – ниток с капроном.
Прямая задача: Двойственная задача:
51x1+14x2≤3996x1+161x2≤525x1,x2≥0 51y1+6y2≥94514y1+161y2≥2331y1,y2≥0
Z=945x1+2331x2→max T=399y1+525y2→min
Решим исходную задачу графически.
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.Обозначим границы области многоугольника решений.Рассмотрим целевую функцию задачи Z= 945x1+2331x2 → max.Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 945x1+2331x2 = 0

. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (945;2331). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.Прямая Z(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:51x1+14x2=3996x1+161x2=525Решив систему уравнений, получим: x1 = 7, x2 = 3Откуда найдем максимальное значение целевой функции:Z(X) = 945*7 + 2331*3 = 13608
Решим двойственную задачу графическим методом
 Построим область допустимых решений, т.е