Прямая и плоскость в пространстве 2.3.1. Пирамида задана вершинами . Найти: а) уравнение плоскости, проходящей

Прямая и плоскость в пространстве 2.3.1. Пирамида задана вершинами . Найти: а) уравнение плоскости, проходящей через точки ; б) величину угла между ребром и гранью ; в) площадь грани ; г) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину; д) объем пирамиды .

А) Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , имеет вид:
.
Подставим координаты точек в уравнение:
,
.
Вычислим определитель слева разложением по элементам первой строки:
Получаем уравнение искомой плоскости:
.
б) Угол между ребром и гранью , т.е. угол между прямой и ее проекцией на плоскость, можно вычислить по следующей формуле:
, где - направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости .
Из уравнения плоскости получаем нормальный вектор плоскости
Найдем координаты вектора :
,
Найдем скалярное произведение:
Найдем длины векторов:

Итого,
в) площадь грани
Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения векторов, имеем
Найдем координаты векторов , :
Найдем их векторное произведение:
Найдем длину получившегося вектора:
Таким образом,
г) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину
Из перпендикулярности прямой и плоскости следует, что в качестве направляющего вектора прямой может быть использован нормальный вектор плоскости -