Прямой стержневой элемент длиной ℓ сжимается центрально приложенной силой Р. Форма поперечного сечения бруса

Прямой стержневой элемент длиной ℓ сжимается центрально приложенной силой Р. Форма поперечного сечения бруса и схема закрепления его концов заданы (рис.1). Требуется: Выполнить проектный расчет на устойчивость по коэффициенту продольного изгиба φ и допускаемому напряжению[σ] материала на простое сжатие; При найденных размерах поперечного сечения определить критическую силу Pкр; Вычислить допускаемую нагрузку P и коэффициент запаса устойчивасти ny. Исходные данные для расчета: № строки Схема Р, кН l, м Материал Физико-механические характеристики материала , МПа , МПа , МПа λо λпр ао, МПа bo, МПа 9 740 3 сталь Ст.35 220 269 320 55 90 398 1,43 Рис.1

Определим коэффициент приведенной длины по заданной расчетной схеме, так как стержень имеет шарнирное закрепление с одной стороны и жесткое закрепление с другой, то =0,7.
2. Выведем формулы, которые необходимы для расчета геометрических характеристик стержня в зависимости от искомых параметров:
Площадь поперечного сечения тонкостенного полого прямоугольника:
F=2∙0,35a1,4a+a=1,68a2;
Минимальное значение момента инерции данного прямоугольника:
Ix=0,35a∙a36∙3∙1,4aa+1=0,3a4;
Iy=0,35a∙1,4a36∙3∙a1,4a+1=0,5a4.
Из двух значений необходимо выбрать минимальный момент инерции, и это будет Ix.
Найдем радиус инерции относительно главной оси сечения (x):
imin=IminF=0,3a41,68a2=0,42a.
3. Подберем размеры проектируемого сечения методом последовательных приближений с использованием приложения Е.
Начальным значением коэффициента продольного изгиба (в первом приближении), в этом случае площадь сечения из условия устойчивости определяется по формуле:
F1=Pφ1∙σс=7400,5∙220∙103=0,0067 м2;
Из выражения для определения площади тонкостенного полого прямоугольника найдем величину a:
a1=F1,68=0,00671,68=0,0632м.
Далее необходимо определить радиус инерции прямоугольника:
i1=0,423a1=0,423∙0,0632=0,0267 м.
Гибкость стержня может быть вычислена по следующей формуле:
λ1=μli1=0,7∙30,0267=78,65.
Путем линейной интерполяции находим значение φ1Т для λ1=78,65:
λ1=70; φ1=0,770; λ2=80; φ2=0,715;
φ1Т=φ1-φ1-φ2λ2-λ1∙λ-λ1=0,770-0,770-0,71580-70∙8,65=0,722.
Так как разница между коэффициентами и является довольно существенной, то нужно выполнить второе приближение при
φ2=φ1Т+φ12=0,722+0,52=0,611.
Определяем площадь поперечного сечения стержня:
F2=Pφ2∙σс=7400,611∙220∙103=0,0055 м2;
Величина a2 будет равна
a2=F1,68=0,00551,68=0,057м.
Радиус инерции
i2=0,423a2=0,423∙0,057=0,024 м.
Гибкость стойки вычисляется по формуле
λ2=μli2=0,7∙30,024=87,5.
Путем линейной интерполяции находим значение φ2Т для λ2=87,5:
λ1=80; φ1=0,715; λ2=90; φ2=0,655;
φ2Т=φ1-φ1-φ2λ2-λ1∙λ-λ1=0,715-0,715-0,65590-80∙7,5=0,670.
Расхождение между и превышает допустимую норму