Прямоугольник, стороны которого равны a и b, вращается вокруг оси, перпендикулярной его диагонали и

Прямоугольник, стороны которого равны a и b, вращается вокруг оси, перпендикулярной его диагонали и проходящей через один из её концов. Найти площадь поверхности полученного тела вращения. Дано: АВСД-прямоугольник. АВ=СD=а ВС=АD=b m⊥AC Найти:Sпов

Проведем перпендикуляры BH, CF, DK на прямую m (ось вращения). Тогда площадь поверхности тела вращения равна:
S=πBCHB+CA+πCDCA+DK+πAB∙HB+πAD∙DK
По теореме Пифагора
AC=AB2+BC2=a2+b2
∆HAB подобен ∆ACD(по двум углам)
HBCD=BAAD⇒ HB=CD∙BAAD=a∙ab=a2b
∆ADK подобен ∆ABC(по двум углам)
DKBC=ADAC⇒ DK=BC∙ADAC=b∙ba2+b2=b2a2+b2
S=πBCHB+CA+πCDCA+DK+πAB∙HB+πAD∙DK=
=πBC∙HB+πBC∙CA+πCD∙CA+πCD∙DK+πAB∙HB+πAD∙DK=
=πBC∙HB+πAB∙HB+πBC∙CA+πCD∙CA+(πCD∙DK+πAD∙DK)=
=π HBBC+AB+π CABC+CD+πDK(CD+AD)=
=π HBb+a+π CAb+a+πDK(a+b)=π(a+b)(HB+CA+DK)=
=πa+ba2b+a2+b2+b2a2+b2