Пусть двумерная случайная величина (X, Y) – генеральная совокупность, где X – вес (в. 2

Пусть двумерная случайная величина (X, Y) – генеральная совокупность, где X – вес (в килограммах), а Y – рост (в сантиметрах) случайно взятого человека. В качестве исходных данных студенту предлагается выборка xi,yi, i=1,2,…,n объёмом n=50 из генеральной совокупности (X, Y). Для статистической обработки этих данных в контрольной работе требуется выполнить следующее задание: 1. Для величин X и Y составить группированные ряды. Построить полигоны, гистограммы относительных частот. 2. Вычислить точечные оценки: выборочные средние x и y; несмещённые выборочные средние квадратичные отклонения sx и sy. 3. Проверить гипотезы о нормальном законе распределения случайных величин X и Y при уровне значимости α=0,05 . 4. Найти доверительные интервалы для M(X), M(Y), D(X), D(Y) с доверительной вероятностью γ=0,95. 5. Составить корреляционную таблицу. Вычислить выборочный коэффициент корреляции rв. 6. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y. Построить графики этих прямых на одном рисунке с наблюдаемыми точками xi,yi, i=1,2,…,n. xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi 69,7 145 66,5 152 79,4 173 73,6 157 71,0 153 72,8 159 78,6 158 66,2 154 82,3 166 80,6 167 71,5 151 67,6 154 84,2 162 78,5 163 75,5 157 78,0 165 80,4 165 76,0 157 69,8 153 73,4 160 72,3 153 84,3 174 72,9 161 79,5 161 62,0 148 68,1 152 75,5 161 64,6 153 72,4 159 80,0 172 72,1 156 75,1 165 68,2 152 64,4 149 62,8 144 93,2 179 76,9 160 65,3 149 77,6 155 70,0 155 71,5 154 85,6 170 84,0 177 70,5 159 84,2 168 84,7 170 90,2 176 67,0 158 62,7 154 79,1 156

Объем выборок равен n=50
Составим группированный ряд для величины X
xmax=93,2 xmin=62
Rx=xmax-xmin=93,2-62=31,2
Разобьем промежуток на r=7 интервалов для n=50
Тогда шаг разбиения:
hx=Rxr=31,27≈4,46
Для удобства возьмем hx=5
Тогда расширение промежутка разбиения составит: 5-4,46∙7=3,78
Для определения границ интервалов для удобства сдвинем концы интервалов, чтобы они стали целыми числами.
a0=xmin-2=60 a1=a0+hx, ai=ai-1+hx
Вычислим середины каждого интервала:
xi*=ai-1+ai2
i
[ai-1;ai)
xi*
ni
nin
nihx∙n
1 [60;65)
62,5 5 0,1 0,02
2 [65;70)
67,5 9 0,18 0,036
3 [70;75)
72,5 12 0,24 0,048
4 [75;80)
77,5 12 0,24 0,048
5 [80;85)
82,5 9 0,18 0,036
6 [85;90)
87,5 1 0,02 0,004
7 [90;95)
92,5 2 0,04 0,008
Используя полученные результаты, построим полигон относительных частот и гистограмму относительных частот.
Полигон относительных частот:
Гистограмма относительных частот:
Аналогично составим группированный ряд для величины Y
ymax=179 ymin=144
Rx=xmax-xmin=179-144=35
Разобьем промежуток на r=7 интервалов для n=50
Тогда шаг разбиения:
hy=Ryr=357=5
a0=ymin=144 a1=a0+hy, ai=ai-1+hy
Вычислим середины каждого интервала:
yi*=ai-1+ai2
i
[ai-1;ai)
yi*
ni
nin
nihy∙n
1 [144;149)
146,5 3 0,06 0,012
2 [149;154)
151,5 10 0,2 0,04
3 [154;159)
156,5 13 0,26 0,052
4 [159;164)
161,5 10 0,18 0,036
5 [164;169)
166,5 6 0,14 0,028
6 [169;174)
171,5 4 0,08 0,016
7 [174;179)
176,5 4 0,08 0,016
Используя полученные результаты, построим полигон относительных частот и гистограмму относительных частот.
Полигон относительных частот:
Гистограмма относительных частот:
Вычислить точечные оценки. Для удобства вычислений перейдем к условным вариантам:
ui=xi*-77,55, vi=yi*-161,55
i
ui
ni
uini
ui2ni
vi
mi
vimi
vi2mi
1 -3 5 -15 45 -3 3 -9 27
2 -2 9 -18 36 -2 10 -20 40
3 -1 12 -12 12 -1 13 -13 13
4 0 12 0 0 0 10 0 0
5 1 9 9 9 1 6 6 6
6 2 1 2 4 2 4 8 16
7 3 2 6 18 3 4 12 36

50 -28 124
50 -16 138
u=1n∙i=17ui∙ni=-2850=-0,56
u2=1n∙i=17ui2∙ni=12450=2,48
su2=nn-1∙u2-u2=5049∙2,48-(-0,56)2≈2,21 su≈1,49
v=1n∙i=17vi∙ni=-1650=-0,32
v2=1n∙i=17vi2∙ni=13850=2,76
sv2=nn-1∙v2-v2=5049∙2,76-(-0,32)2≈2,71 sv≈1,65
Искомые оценки:
x=5u+77,5=5∙(-0,56)+77,5=74,7
sx2=25∙su2=25∙2,48=62
sx=sx2=62≈7,87
y=5v+161,5=5∙(-0,32)+161,5=159,9
sy2=25∙sv2=25∙2,71=67,75
sy=sy2=67,75≈8,23
Проверим с помощью критерия χ2 гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X имеет нормальный закон N(mx,σx)

. Количество неизвестных параметров k=2
mx≈x=74,7
σx≈sx=7,87
Возьмем интервалы [ai-1,ai), приняв a0=-∞, a7=∞
Результаты расчетов выборочной величины χв2 произведем в таблице:
i
[ai-1,ai)
ni
zi=ai-xsx
Ф(zi)
pi=Фzi-Фzi-1
npi
(ni-npi)2npi
1 [-∞;65)
5 -1,2325 -0,3907 0,1093 5,465
2 [65;70)
9 -0,5972 -0,2258 0,1649 8,245
3 [70;75)
12 0,0381 0,016 0,2417 12,085
4 [75;80)
12 0,6734 0,2486 0,2326 11,63
5 [80;85)
9 1,3088 0,4049 0,1563 7,815
6 [85;90)
1 1,9441 0,4738 0,0689 3,445
7 [90;∞)
2 ∞
0,5 0,0262 1,31

Произведем объединение пятого, шестого и седьмого интервалов:
i
[ai-1,ai)
ni
npi
(ni-npi)2npi
1 [-∞;65)
5 5,465 0,04
2 [65;70)
9 8,245 0,07
3 [70;75)
12 12,085 0
4 [75;80)
12 11,63 0,01
5 [80;∞)
12 12,57 0,03

0,15
χв2=(ni-npi)2npi=0,15
По таблице критических значений χкрит2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы 5-2-1=2 находим:
χ0,9522=5,99
Так как χв2<χ0,9522, то гипотеза H0 о нормальном распределении величины X не противоречит выборочным данным.
Аналогично проверим с помощью критерия χ2 гипотезу H0: распределение генеральной совокупности Y имеет нормальный закон N(my,σy)