Расчет вала на прочность и жесткость при кручении Стальной вал, жестко защемленный с двух концов,

Расчет вала на прочность и жесткость при кручении Стальной вал, жестко защемленный с двух концов, нагружен тремя парами сил с моментами 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3. Требуется: 1. Раскрыть статическую неопределимость системы. 2. Построить эпюру крутящих моментов. 3. Из условия прочности определить диаметр вала и округлить его величину до ближайшего стандартного значения. 4. Построить эпюру углов закручивания. 5. Определить наибольший относительный угол закручивания и сравнить его с допускаемым [𝜃] = 0,5 град м. Если условие жесткости не выполняется, подобрать новый диаметр вала. Схема Исходные данные: 𝑎 = 1,0 м; 𝑏 = 1,2 м; 𝑐 = 1,6 м; 𝑇1 = 1,6 кН∙м; 𝑇2 = 1,3 кН∙м; 𝑇3 = 1,0 кН∙м; [𝜏] = 75 МПа.

1. Для раскрытия статической неопределимости системы мысленно отбросим правую заделку, заменив ее реактивным моментом 𝑇𝐴 (рисунок 1, б), и составим уравнение углового перемещения для правого концевого сечения вала.
φА=TA∙(2∙a+b+c)G∙I0-T2∙a+b+cG∙I0+T3∙a+bG∙I0-T1∙aG∙I0=0
1G∙I0≠0
TA∙4,8-1,3∙3,8+1∙2,2-1,6∙1=0
TA=0,904 кН∙м
2. Строим эпюру крутящих моментов, отсекая участки, начиная с правого конца вала.
MK1=-TA=-0,904 кН∙м
MK2=-TA+T2=-0,904+1,3=0,395 кН∙м
MK3=-TA+T2-T3=-0,904+1,3-1=-0,604 кН∙м
MK4=-TA+T2-T3+T1=-0,904+1,3-1+1,6=0,996 кН∙м
Эпюра крутящих моментов изображена на рисунке 1, в.
3 . Определяем диаметр вала из условия прочности.
τmax=MmaxW0≤τ
W0=π∙d316
Поставляя выражение полярного момента сопротивления сечения, получим
16∙Mmaxπ∙d3=τ
d=316∙Mmaxπ∙τ
Из эпюры крутящих моментов Mmax=0,996 кН∙м, тогда
d=316∙0,996∙1033,14∙75∙106=4,07∙10-2м=40,7 мм
Округляем полученный результат до ближайшего большего d=45 мм.
4. Определяем углы закручивания каждого из участков вала в радианах. Жесткость вала равна
G∙I0=G∙π∙d432=8∙1010∙3,14∙4,54∙10-832=3,219∙105 Н∙м2
G∙I0=3,219∙102 кН∙м2
φ1=MK1∙aG∙I0=-0,904∙13,219∙102=-2,809∙10-3 рад
φ2=MK2∙cG∙I0=0,396∙1,63,219∙102=1,967∙10-3 рад
φ3=MK3∙bG∙I0=-0,604∙13,219∙102=-2,252∙10-3 рад
φ4=MK4∙aG∙I0=0,996∙1,63,219∙102=3,094∙10-3 рад
Определяем углы поворота сечений, начиная с крайнего левого
φK=0
φH=φ4=3,094∙10-3 рад
φD=φH+φ3=3,094∙10-3-2,252∙10-3=0,842∙10-3 рад
φB=φD+φ2=0,842∙10-3+1,967∙10-3=2,809∙10-3 рад
φA=φB+φ1=2,809∙10-3-2,809∙10-3=0 рад
Эпюра углов поворота сечений представлена на рисунке 1, г.
5

. Определяем диаметр вала из условия прочности.
τmax=MmaxW0≤τ
W0=π∙d316
Поставляя выражение полярного момента сопротивления сечения, получим
16∙Mmaxπ∙d3=τ
d=316∙Mmaxπ∙τ
Из эпюры крутящих моментов Mmax=0,996 кН∙м, тогда
d=316∙0,996∙1033,14∙75∙106=4,07∙10-2м=40,7 мм
Округляем полученный результат до ближайшего большего d=45 мм.
4. Определяем углы закручивания каждого из участков вала в радианах. Жесткость вала равна
G∙I0=G∙π∙d432=8∙1010∙3,14∙4,54∙10-832=3,219∙105 Н∙м2
G∙I0=3,219∙102 кН∙м2
φ1=MK1∙aG∙I0=-0,904∙13,219∙102=-2,809∙10-3 рад
φ2=MK2∙cG∙I0=0,396∙1,63,219∙102=1,967∙10-3 рад
φ3=MK3∙bG∙I0=-0,604∙13,219∙102=-2,252∙10-3 рад
φ4=MK4∙aG∙I0=0,996∙1,63,219∙102=3,094∙10-3 рад
Определяем углы поворота сечений, начиная с крайнего левого
φK=0
φH=φ4=3,094∙10-3 рад
φD=φH+φ3=3,094∙10-3-2,252∙10-3=0,842∙10-3 рад
φB=φD+φ2=0,842∙10-3+1,967∙10-3=2,809∙10-3 рад
φA=φB+φ1=2,809∙10-3-2,809∙10-3=0 рад
Эпюра углов поворота сечений представлена на рисунке 1, г.
5