Рассмотрите задачу двухкритериальной максимизации: Найдите Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев: . Проверьте, выполняется ли для возникающей

Рассмотрите задачу двухкритериальной максимизации: Найдите Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев: . Проверьте, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверьте возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выпишите и проверьте выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найдите решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выпишите функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверьте выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.

Запишем задачунелинейного программирования для рассматриваемой проблемы в стандартном виде
Найдем Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку
критериев
Проверим, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. Если допустимое множество X является компактным и непустым, то непрерывная целевая функция F(x), определенная на этом множестве, достигает глобального максимума на внутренней или граничной точке множества X.
По теореме Больцано, всякое ограниченное выпуклое множество является компактным, поэтому в случае нашего выпуклого четырехугольника множества решений условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения выполнены.
Эта задача является задачей выпуклого программирования.
Построим условия Куна-Такера:
В соответствии с типом оптимизации и видом ограничений, ограничения, накладываемые на переменные λi≤0 – табличные.
Функция Лагранжа:
L(x,)=-0,8х1+3,4х2+0,8х3+(2x12+x22+(х3+1)2-1)
и условие Куна-Танкера:
λi≤0
Найдем частные производные функции L по xi,:
Условия Куна-Танкера имеют вид:
Условия выполнятся, значит, в точке (0,0,0) имеется локальный максимум.
Необходимые условия Куна-Таккера являются также достаточными, если целевая функция и область допустимых решений обладают определенными свойствами, связанными с выпуклостью и вогнутостью.
Так для случая максимизации целевая функция f( х) должна быть выпуклой (установлено графически)