Собственные функции частицы, захваченной в боковой одномерной бесконечной потенциальной яме между x = 0

Собственные функции частицы, захваченной в боковой одномерной бесконечной потенциальной яме между x = 0 и x = a, задаются выражением: ψx,t=2asinnπxaexp-in2π2ħ2ma2. Кроме того, мы знаем, что решения уравнения Шредингера для ортонормированного множества, которые в одномерном виде могут быть записаны: -∞+∞ψn*x,tψkx,tdx=δnk а) Покажите (вручную), что для n = k указанный выше интеграл равен 1. б) Покажите (вручную), что для n ≠ k указанный выше интеграл равен 0. Замечание. Я в условии (в интеграле) индекс m на k заменила, чтобы путаницы не было, в функции ψx,t уже присутствует m − масса частицы.

A) при n=k
Учитывая, что вне потенциальной ямы ψx,t=0, имеем
-∞+∞ψn*x,tψkx,tdx=
=0a2asinnπxaexpin2π2ħ2ma2∙2asinkπxaexp-ik2π2ħ2ma2dx=
=expin2-k2π2ħ2ma22a0asinnπxasinkπxadx
Вычислим отдельно интеграл
I=2a0asinnπxasinkπxadx
a) при n=k
I=2a0asin2nπxadx=1a0a1-cos2nπxadx=
=1ax0a-a2nπsin2nπxa0a=0=1a∙a=1.
Следовательно,
-∞+∞ψn*x,tψnx,tdx=expin2-n2π2ħ2ma2=1∙1=1
б) при m≠n
I=2a0asinmπxasinkπxadx=1a0acosm-nπxa-cosm+nπxadx=
=12am-nπsinm-nπxa-am+nπsinm+nπxa0a=
=12πsinm-nπm-n=0-sinm+nπm+n=0=0.
Следовательно,
-∞+∞ψn*x,tψkx,tdx=expin2-k2π2ħ2ma2∙0=0.
Т.е