Убедиться, что выражение xey2dx+x2yey2+ysinydy является полным дифференциалом некоторой функции, и найти эту функцию.

Убедиться, что выражение xey2dx+x2yey2+ysinydy является полным дифференциалом некоторой функции, и найти эту функцию.

Рассмотрим выражение
Px, ydx+Qx, ydy.
Данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, если ∂P∂y=∂Q∂x.
В нашем случае
Px, y=xey2, Qx, y=x2yey2+ysiny.
Так как
∂P∂y=∂∂yxey2=2xyey2,
∂Q∂x=∂∂xx2yey2+ysiny=2xyey2+0=2xyey2,
то ∂P∂y=∂Q∂x и выражение
xey2dx+x2yey2+ysinydy
является полным дифференциалом некоторой функции ux, y.
Найдем эту функцию . По определению полный дифференциал
du=∂u∂xdx+∂u∂ydy.
Согласно доказанному
du=xey2dx+x2yey2+ysinydy.
Сравнивая два выражения, получаем
∂u∂x=xey2, ∂u∂y=x2yey2+ysiny.
Проинтегрируем первое равенство системы по x:
ux, y=xey2dx+φy=ey2xdx+φy=12x2ey2+φy.
Найдем функцию φy

. По определению полный дифференциал
du=∂u∂xdx+∂u∂ydy.
Согласно доказанному
du=xey2dx+x2yey2+ysinydy.
Сравнивая два выражения, получаем
∂u∂x=xey2, ∂u∂y=x2yey2+ysiny.
Проинтегрируем первое равенство системы по x:
ux, y=xey2dx+φy=ey2xdx+φy=12x2ey2+φy.
Найдем функцию φy