В схеме (рис. ) ЭДС элемента Ε = 2,0 В, его внутреннее сопротивле- ние r

В схеме (рис. ) ЭДС элемента Ε = 2,0 В, его внутреннее сопротивле- ние r = 9,0 Ом, емкость конденсатора С = 10 мкФ, индуктивность катушки L = 100 мГн, и активное сопротивление R = 1,0 Ом. В некоторый момент ключ К разомкнули. Найти энергию колебаний в контуре: а) непосредственно после размыкания ключа; б) через t = 0,30 с после размыкания ключа. Дано: Ε = 2,0 В, r = 9,0 Ом, С=10 мкФ, L = 100 мГн, R = 1,0 Ом, t = 0,30 с. Найти: W.

Характеристическое уравнение цепи имеет вид
p2LC + p RC + 1 = 0.
Подставив значения, получим
10-6 p2 + 10-5p + 1 = 0.
Корни характеристического уравнения
p1 = (-5 + 1000 i) с-1,
p2 = (-5 – 1000 i) c-1.
Для определения энергии необходимо найти напряжение на конден-
саторе. Это напряжение будем находить в виде суммы принужденного
и свободного значений:
uC = uСпр + uСсв.
Принужденное значение напряжения на конденсаторе равно нулю.
Свободную составляющую будем искать в виде
uCсв = A e-αt sin (ωt+φ) = A e-5t sin (1000 t + φ).
В момент t = 0
uC(0) = Ε RR+r=0,2 В.
Найдем производную от напряжения
duCdt=-5 A e-5tsin1000t+φ+1000 A e-5tcos1000t+φ
Запишем начальное значение тока в цепи разряда конденсатора.
iC0=Cducdtt=0=iΕ0-iL0=0-ΕR+r=-0,2 А.
Составим систему уравнений для определения А и φ.
0,2 = A sin φ,
-0,2 = - 5·10-5 A sin φ + 10-2 A cos φ.
Из этой системы получаем
sin φ = 0,01,
φ = 0,573o,
A = 0,2sinφ=20 В.
Напряжение на конденсаторе
uC(t) = 20 e-5t sin (1000t + 0,573o), В.
Найдем энергию в момент t = 0
W(0) =C uC202=2∙10-7Дж.
Найдем энергию в момент t = 0,3 c
W(0,3) =C uC20,32=9,956∙10-5Дж.
Ответ: W(0) = 2·10-7Дж, W(0,3) = 9,956·10-5 Дж