В вершинах правильного шестиугольника со стороной a = 10 см расположены точечные заряды q,

В вершинах правильного шестиугольника со стороной a = 10 см расположены точечные заряды q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q (q = 0.1мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд q, лежащий в центре шестиугольника. Дано: =10 см = 0,1 м =0,1 мкКл = 10-7 Кл Пусть заряды в вершинах шестиугольника расположены так, как это показано на рисунке: Найти: F ― ?

Сила, с которой действует результирующее поле зарядов на помещенный в центре шестиугольника заряд , равна:
F=qE
где напряженность результирующего поля в центре шестиугольника.
Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля в центре фигуры:
E=E1+E2+E3+E4+E5+E6
где напряженность поля заряда .
С целью упрощения дальнейшего вывода будем искать напряженность результирующего поля через компоненты составляющих её полей:
&Ex=Ex1+Ex2+Ex3+Ex4+Ex5+Ex6,&Ey=Ey1+Ey2+Ey3+Ey4+Ey5+Ey6,&E=Ex2+Ey2,
где и проекции вектора на координатные оси и соответственно.
Поскольку все заряды являются точечными, тогда можем записать в общем виде выражение для напряженности их полей в центре шестиугольника:
En=k⋅nqεr2
где =9·109 Н·м2/Кл2 – постоянная величина; диэлектрическая проницаемость среды (будем считать, что система находится в вакууме, для которого =1); расстояние от каждого из зарядов до центра шестиугольника (исходя из свойств шестиугольника ).
Принимая во внимание расположение векторов на рисунке относительно координатных осей, в данном случае можем записать:
Ex=Ex1+Ex2+Ex3+Ex4+Ex5+Ex6=E1+E2cos60∘-E3cos60∘-E4-
-E5cos60∘+E6cos60∘=kqεr2+2kqεr2⋅12-3kqεr2⋅12-4kqεr2-5kqεr2⋅12+6kqεr2⋅12
=kqεr21+2⋅12-3⋅12-4-5⋅12+6⋅12=kqεr21+1-1,5-4-2,5+3
=kqεr21+1-1,5-4-2,5+3=-3kqεr2=-3kqεa2
Ey=Ey1+Ey2+Ey3+Ey4+Ey5+Ey6=0-E2sin60∘-E3sin60∘+0+
+E5sin60∘+E6sin60∘=-2kqεr2⋅32-3kqεr2⋅32+5kqεr2⋅32+6kqεr2⋅32=
=kqεr2⋅-2-3+5+6⋅32=6kqεr2⋅32=33kqεr2=33kqεa2
E=Ex2+Ey2=-3kqεa22+33kqεa22=kqεa29+27=kqεa236=6kqεa2
В конечном итоге:
F=qE=6kq2εa2
С учётом начальных данных:
F=6⋅9⋅109⋅10-721⋅0,12=0,054 (Н)
Ответ: F=0,054 (Н)