Вычислить приближенное значение интеграла, используя квадратурные формулы а) центральных прямоугольников с шагом h=0.4; дать. 2

Вычислить приближенное значение интеграла, используя квадратурные формулы а) центральных прямоугольников с шагом h=0.4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0.4 и h=0.2; оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0.4. Указание. Промежуточные результаты вычислить с шестью значащими цифрами. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах. 2.33.9sin⁡(1+x)dx

А) Используя формулу центральных прямоугольников
abf(x)dx≈h⋅f(x0+h2)+f(x1+h2)+f(x2+h2)+...+f(xn-1+h2)
вычислим интеграл с шагом h=0.4.
x f(x) x+h/2 f(x+h/2)
2,3 0,585112 2,5 0,531571
2,7 0,478043 2,9 0,424721
3,1 0,371766 3,3 0,319311
3,5 0,267468 3,7 0,216330
3,9 0,165979    
I≈Iпрцентр≈0.4⋅(0.531571+0.424721+0.319311+0.21633)≈0.596773
Для априорной оценки погрешности воспользуемся формулой:
|I-Iпр|≤M224(b-a)h2
M2=maxx∈[2;3.6]f''x
f''x=-sin1+x4x-cos1+x4x3
M2=maxx∈[2,3;3,9]f''3,9≈0,021
I-Iцентр.пр≤0.021243,9-2,30.42≈0.00023
б) Используя формулу трапеций:
abf(x)dx≈h⋅f(x0)+f(xn)2+f(x1)+...+f(xn-1), вычислим интеграл.
При h=0.4
n x f(x)
0 2,3 0,585112
1 2,7 0,478043
2 3,1 0,371766
3 3,5 0,267468
4 3,9 0,165979
I≈Iтр≈0,4(0.5851122+0,1659792+0.478043+0.371766+0.267468)≈0.597129
При h=0.2
n x f(x)
0 2,3 0,585112
1 2,5 0,531571
2 2,7 0,478043
3 2,9 0,424721
4 3,1 0,371766
5 3,3 0,319311
6 3,5 0,267468
7 3,7 0,216330
8 3,9 0,165979
I≈Iтр≈0,2(0.5851122+0,1659792+0.531571+0.478043+0.424721+0.371766+0.319311+0.267468+0.21633)≈0,596951
Погрешность по правилу Рунге:
I-IТР(h)≈|IТР(h)-IТР(2h)|3
I-IТР(h)≈|0.596951-0.597129|3≈0.00006
Iтр=0.59695±0.00006
в) Используя формулу Симпсона
abf(x)dx≈h3⋅f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn)
вычислим интеграл с шагом h=0.4.
n x f(x)
0 2,3 0,585112
1 2,7 0,478043
2 3,1 0,371766
3 3,5 0,267468
4 3,9 0,165979
I≈IСимп≈0.43(0.585112+0,165979+40.478043+0.267468+2∙0.371766)≈0,596889