Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х ( производительность труда) и Y (стаж

Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х ( производительность труда) и Y (стаж работы), выписанными из табл. 7. Найти выборочное уравнение прямой yx-y=rbσyσx(x-x) регрессии. Построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

Так как распределения случайных величин X и Y заданы интервальным вариационным рядом, то перейдем к вспомогательным переменным, значения которых совпадают с серединами интервалов
Интервалы Y/X 42-58 58-74 74-90 90-106 106-122 122-138 138-154
0-3 1 1
2
3-6 1 1 1
3
6-9
1 7 4 3
15
9-12
2 9 6 1
18
12-15
3 1 2
6
15-18
1
4
5
18-21
1 1
2 3 10 17 10 7 1 50
В первой строке таблицы указаны полученные значения случайной величины X, а в первом столбце – значения случайной величины Y.
Объем выборки nyi=nxi=n=50.
yi
xi nyi
yxi
50 66 82 98 114 130 146
1,5 1 1
2 3
4,5 1 1 1
3 4,5
7,5
1 7 4 3
15 7,8
10,5
2 9 6 1
18 10,7
13,5
3 1 2
6 9,9
16,5
1
4
5 14,8
19,5
1 1 19,5
nxi
2 3 10 17 10 7 1 50
Условное среднееyx – среднее арифметическое значений случайной величины Y, наблюдавшихся при фиксированном значении случайной величины X = x .
Найдем условные средние, соответствующие значениям Х = xi.
yxi=1nxij=17yj∙nij
Тогда yx1=121∙1,5+1∙4,5=3
yx2=131∙1,5+1∙4,5+1∙7,5=4,5
yx3=1101∙4,5+7∙7,5+2∙10,5=7,8
yx4=1174∙7,5+9∙10,5+3∙13,5+1∙16,5=10,7
yx5=1103∙7,5+6∙10,5+1∙13,5=9,9
yx6=171∙10,5+2∙13,5+4∙16,5=14,8
yx7=11∙1∙19,5=19,5
Для построения эмпирической линии регрессии соединим ломаной линией точки с координатами Mi(xi; yxi)

.
Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством
rxy=covX,Yσxσy,
где covX,Y- ковариация двух случайных величин Х и Y; x, y – средние квадратические отклонения величин Х и Y.
Предварительно вычислим общие средние: х, у, а также средние квадратические отклонения х и у. 
x=1ni=17xi∙nxi=150∙50∙2+66∙3+82∙10+98∙17+114∙10+130∙7+146∙1=99,6
y=1ni=17yi∙nyi=150∙1,5∙2+4,5∙3+7,5∙15+10,5∙18+13,5∙6+16,5∙5+19,5∙1=10,02
Дисперсии соответственно равны
x2=1ni=15xi2∙nxi-x2=150∙502∙2+662∙3+822∙10+982∙17+1142∙10+1302∙7+1462∙1-99,62=442,88
y2=1ni=15yi2∙nyi-y2=150∙1,52∙2+4,52∙3+7,52∙15+10,52∙18+13,52∙6+16,52∙5+19,52∙1-10,022=14,2
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
x=21,0; y=3,8
Для нахождения ковариации вычислим
xy=i,jxiyjnij=1,5∙50∙1+1,5∙66∙1+4,5∙50∙1+4,5∙66∙1+4,5∙82∙1+7,5∙66∙1+7,5∙82∙7+7,5∙98∙4+7,5∙114∙3+10,5∙82∙2+10,5∙98∙9+10,5∙114∙6+10,5∙130∙1+13,5∙98∙3+13,5∙114∙1+13,5∙130∙2+16,5∙98∙1+16,5∙130∙4+19,5∙146∙1=54582
Тогда определяем ковариацию между X и Y по формуле:
covX,Y=1n∙i,jxiyjnij-x∙y=150∙54582-99,6∙10,02=93,65
Находим коэффициент корреляции меду величинами X и Y:
rxy=covX,Yσxσy=93,6521,0∙3,8=1,17,
Так как rxy∙n-1=1,17∙49=8,19≥3, то связь между случайными величинами X и Y достаточно вероятна.
Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между случайными величинами