Вычислить двойной интеграл Dx2+y2dxdy по области D ограниченной линией x2+y2≤2ay.

Вычислить двойной интеграл Dx2+y2dxdy по области D ограниченной линией x2+y2≤2ay.

-15948830680900Область D представлена на рисунке.
Перейдём к полярным координатам:
x=rcosφ,y=rsinφ, r=x2+y2.
Теперь найдём пределы интегрирования в полярной системе координат:
x2+y2≤2ay,
r2≤2rasinφ⟺r≤2asinφ⟺0≤r≤2asinφ;r≥ 0⟺0≤2asinφ
⟺sinφ≥0⟺φ=0;π.
Тогда:
Dx2+y2dxdy=Dr3drdφ=0πdφ02asinφr3dr=
=0πr4402asinφdφ=140π16a4sin4φ-0dφ=4a40πsin4φdφ=
=
=4a440π1-cos2φ1-cos2φdφ=a40π1-2cos2φ+cos22φdφ=
=a40πdφ-2a40πcos2φdφ+a40πcos22φdφ=a40πdφ-
-a40πcos2φd2φ+a420π1+cos4φdφ=a40πdφ-
-a40πcos2φd2φ+a420πdφ+a480πcos4φd4φ=
=3a420πdφ-a40πcos2φd2φ+a480πcos4φd4φ=
=3a42φ0π-a4sin2φ0π+a48sin4φ0π=3a42π-0-
-a4sin2π-sin0+a48sin4π-sin0=3πa42.