Вычислите определенный интеграл 01ln⁡1+x2xdx с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд,

Вычислите определенный интеграл 01ln⁡1+x2xdx с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, проинтегрировав его почленно. 01ln⁡1+x2xdx.

Имеем интеграл 01ln⁡1+x2xdx, который необходимо вычислить с точностью до δ=10-3.
Разложим подынтегральной функции в степенной ряд, воспользовавшись разложением ln1+t=t-t22+t33-t44+t55-t66+t77-t88+t99-t1010+t1111-t1212+t1313-t1414+t1515-t1616+t1717-t1818+t1919-t2020+t2121-t2222+t2323+….
В нашем случае t=x2, имеем:
ln1+x2=x2-x42+x63-x84+x105-x126+x147-x168+x189-x2010+x2211-x2412+x2613-x2814+x3015-x3216+x3417-x3618+x3819-x4020+x4221-x4422+x4623+….
Подынтегральная функция, таким образом, имеет следующее разложение в степенной ряд:
ln⁡1+x2x=x-x32+x53-x74+x95-x116+x137-x158+x179-x1910+x2111-x2312+x2513-x2714+x2915-x3116+x3317-x3518+x3719-x3920+x4121-x4322+x4523+….
Тогда:
01ln⁡1+x2xdx=01x-x32+x53-x74+x95-x116+x137-x158+x179-x1910+x2111-x2312+x2513-x2714+x2915-x3116+x3317-x3518+x3719-x3920+x4121-x4322+x4523+…dx=x22-x48+x618-x832+x1050-x1272+x1498-x16128+x18162-x20200+x22242-x24288+x26338-x28392+x30450-x32512+x34578-x36648+x38722-x40800+x42882-x44968+x461058+…01=12-18+118-132+150-172+198-1128+1162-1200+1242-1288+1338-1392+1450-1512+1578-1648+1722-1800+1882-1968+11058+….
Видим, что уже при двадцать третьем члене: 11058<10-3 выполняется требуемая точность, следовательно, интеграл равен:
01ln⁡1+x2xdx≈0,412.
Ответ: 01ln⁡1+x2xdx≈0,412.