За длительный период эксплуатации технической системы было зафиксировано 118 отказов, распределение которых определено нормальным

За длительный период эксплуатации технической системы было зафиксировано 118 отказов, распределение которых определено нормальным законом распределения. Определить технические характеристики надежности за время работы 10 лет: вероятность безотказной работы, частоту, интенсивность отказов. Таблица 1 Исходные данные № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t, года 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 n(t) 2 7 6 13 16 16 16 14 11 6 4 3 2 1 1

Нормальное распределение является двухпараметрическим, для его применения необходимо определить математическое ожидание (среднее значение) и среднеквадратическое отклонение.
Для этого приведенные статистические данные целесообразно представить в виде вспомогательной таблицы 2.
Для расчета параметров по статистическим данным, которые приведены в форме статистического ряда (табл.2) , используются следующие формулы.
Среднее значение показателя надежности определяется по формуле:
t =intic∙Pi , (1)
где tic – значение середины i –го интервала;
Pi - опытная вероятность в i –ом интервале
Значение опытной вероятностей в i-ом интервале определяется по формуле:
Pi = ni /N , (2)
где ni – количество отказов в i–м интервале
N – общее количество отказов , N=118
Таблица 2 – К расчету среднего значения
Номер интервала Середина
интервала,
tic Частота,
ni Опытная вероятность,
Pi = ni /N tic·Pi
1 3 2 0,017 0,05
2 3,5 7 0,059 0,21
3 4 6 0,051 0,20
4 4,5 13 0,110 0,50
5 5 16 0,136 0,68
6 5,5 16 0,136 0,75
7 6 16 0,136 0,81
8 6,5 14 0,119 0,77
9 7 11 0,093 0,65
10 7,5 6 0,051 0,38
11 8 4 0,034 0,27
12 8,5 3 0,025 0,22
13 9 2 0,017 0,15
14 9,5 1 0,008 0,08
15 10 1 0,008 0,08
Σ=5,81
Для первого интервала
P1 = m1 /N =2/118=0,017
Для второго интервала
P2 = m2 /N =7/118=0,059
Для следующих интервалов расчеты выполняются аналогично, результаты приводятся в таблице 2

. Подставив полученные значения в формулу (1), получим среднее значение:
t =3∙0,017+3,5∙0,059+4∙0,051+4,5∙0,110+5·0,136+5,5×
×0,136+6·0,136+6,5·0,119 +7∙0,093+7,5∙0,051+8∙0,03+,125+
+8,5∙0,025+9∙0,017+9,5·0,008+10·0.08 =5,81г
Среднее значение t =5,81 г
Среднеквадратическое отклонение S рассчитывается по формуле :
S = 1n(tiс - t)2∙Pi , (3)
Для определения выборочного среднеквадратического отклонения целесообразно составить вспомогательную таблицу
Таблица 3 – К расчету среднеквадратического отклонения
Интервал Середина
интервала
хiс Вероятность
Рі
tіc -t
(tіc -t)2 QUOTE хсі -х)2
(tiс -t)2∙Pi
1 3 0,017 2,81 7,90 0,13
2 3,5 0,059 2,31 5,34 0,32
3 4 0,051 1,81 3,28 0,17
4 4,5 0,110 1,31 1,72 0,19
5 5 0,136 0,81 0,66 0,09
6 5,5 0,136 0,31 0,10 0,01
7 6 0,136 0,19 0,04 0,00
8 6,5 0,119 0,69 0,48 0,06
9 7 0,093 1,19 1,42 0,13
10 7,5 0,051 1,69 2,86 0,15
11 8 0,034 2,19 4,80 0,16
12 8,5 0,025 2,69 7,24 0,18
13 9 0,017 3,19 10,18 0,17
14 9,5 0,008 3,69 13,62 0,12
15 10 0,008 4,19 17,56 0,15
Сумма ∑ 2,03
S= (3-5,81)2∙0,017 +(3,5-5,81)2∙0,059 +(4-5,81)2 ×
×0,051+…+(9,5-5,81)2∙0,008 + (10-5,81)2∙0,008 =
=2,03 =1,42
Принимаем допущение о равенстве параметров статистического и теоретического распределений , то есть для закона нормального распределения приняты значения t =5,81 и σ =1,42.
Вероятность безотказной работы P(t) рассчитывается по формуле:
P(t) =1-F(t), (4)
где F(t) - функция распределения вероятности возникновения отказа
Функция распределения вероятности возникновения отказа F(t) рассчитывается по формуле:
F(t)=F0 ( ti-tσ )= F0 (upi ), (5)
где (ti-t)σ= upi – квантиль нормального распределения для i–го
значения ;
F0 (upi ) - табличная нормированная и центрированная функция
нормального распределения
Для заданного значения ti =10 лет
F(10)=F0 ( 10-5,811,42 ) =F0 (2,95)=0,99841
P(10) =1-F(t)=1-0,99841=0,00159
Частота отказов f(t) определяется по формуле:
f(t)=1σf0(upi) , (6)
гдеf0(upi) - нормированная функция плотности вероятности
нормального распределения
f(10)=11,42f0(2,95)=11,42·0,00514=3,6·10-3 1/год
Интенсивность отказов λ(t) определется по формуле:
λ(t)=f(t)P(t) , (7)
λ(10)=3,6·10-30,00159= 2,26 1/год
Ответ: P(10) =0,00159; f(10)=3,6·10-3 1/год; λ(10)=2,261/год.
1.Труханов В.М