Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме. 2. Вычислите спектральные

Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме. 2. Вычислите спектральные коэффициенты для сигналов, приведенных на рис. 1. Интервал разложения равен [-τ2; τ2] Число спектральных коэффициентов n = 5. Исходные данные: m = 0 ; n = 5. Амплитуда импульсов Аm=mn2+0,5p=0+0,5∙6=3 В Длительность импульса τ=20 мс Аналитическое выражение для сигнала: Ut=AmCos(πtτ)

Любую периодическую функцию вида Ut=u(t+nT), удовлетворяющую в пределах периода условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье для периодического сигнала:
Ut=a02+n=1∞(ancos nω1t+bn sin nω1t)
Где:
a0=2T-T/2T/2Utdt
an=2T-T/2T/2Utcosnω1tdt
bn=2T-T/2T/2Utsinnω1tdt
Каждую гармонику можно описать её амплитудой An и начальной фазой φn . Коэффициенты ряда Фурье в этом случае запишутся в виде:
an=Ancosφn
bn=Ansinφn
Так что
An=an2+bn2
tgφn=bnan
Частота первой гармоники:
ω1=2πT
Определяем частоту первой гармоники:
ω1=2πτ=2π20∙10-3=314 рад/с
Находим постоянную составляющую:
U0=a02=1T-T/2T/2Utdt=Amτ-τ/2τ/2cosπtτdt=2Amπsinπ2=2∙3πsinπ2=6π=1,91 В
Определяем коэффициенты:
an=Ancosφn=2Amπ-τ/2τ/2cosπtτcos⁡(nω1t)dt=2Amτ1(πτ-nω1)+1(πτ+nω1)cosπτω12
a1=2∙320∙10-31(π20∙10-3-314)+1(π20∙10-3+314cosπ∙20∙10-3∙3142=1,154 В = 1154 мВ
a2=0,231 В = 231 мВ
a3=0,099 В = 99 мВ
a4=0,055 В = 55 мВ
a5=0,035 В = 35 мВ
bn=Ansinφn=2Amπ-τ/2τ/2cosπtτsin(nω1t)dt=0
Рассчитываем амплитуды для n = 5 гармоник входного сигнала:
An=an2+bn2
A1=a12+b12=1,1542+02=1,154 В = 1154 мВ
A2=0,231 В = 231 мВ
A3=0,099 В = 99 мВ
A4=0,055 В = 55 мВ
A5=0,035 В = 35 мВ
Начальные фазы для n = 5 гармоник входного сигнала:
φn=-180πarctg(bnan)
φ1=φ2=φ3=φ4=φ5=0
Рисунок 1 - Амплитудный спектр сигнала

. Коэффициенты ряда Фурье в этом случае запишутся в виде:
an=Ancosφn
bn=Ansinφn
Так что
An=an2+bn2
tgφn=bnan
Частота первой гармоники:
ω1=2πT
Определяем частоту первой гармоники:
ω1=2πτ=2π20∙10-3=314 рад/с
Находим постоянную составляющую:
U0=a02=1T-T/2T/2Utdt=Amτ-τ/2τ/2cosπtτdt=2Amπsinπ2=2∙3πsinπ2=6π=1,91 В
Определяем коэффициенты:
an=Ancosφn=2Amπ-τ/2τ/2cosπtτcos⁡(nω1t)dt=2Amτ1(πτ-nω1)+1(πτ+nω1)cosπτω12
a1=2∙320∙10-31(π20∙10-3-314)+1(π20∙10-3+314cosπ∙20∙10-3∙3142=1,154 В = 1154 мВ
a2=0,231 В = 231 мВ
a3=0,099 В = 99 мВ
a4=0,055 В = 55 мВ
a5=0,035 В = 35 мВ
bn=Ansinφn=2Amπ-τ/2τ/2cosπtτsin(nω1t)dt=0
Рассчитываем амплитуды для n = 5 гармоник входного сигнала:
An=an2+bn2
A1=a12+b12=1,1542+02=1,154 В = 1154 мВ
A2=0,231 В = 231 мВ
A3=0,099 В = 99 мВ
A4=0,055 В = 55 мВ
A5=0,035 В = 35 мВ
Начальные фазы для n = 5 гармоник входного сигнала:
φn=-180πarctg(bnan)
φ1=φ2=φ3=φ4=φ5=0
Рисунок 1 - Амплитудный спектр сигнала