Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Динамические системы: основные понятия

Содержание

ГлаваI. Динамические системы: основные понятия………..........................

Понятие динамической системы………………………………..
Решение непрерывных динамических систем…………………

Основные понятия непрерывных динамических систем…..
Постоянные и периодические решения………………………
Изолированные точки равновесия……………………………
Понятие о фазовых портретах автономных систем…………
Понятие устойчивости………………………………………….

Периодическая задача……………………………………………….

Глава II. Модель Колмогорова в нелинейной динамике……………..

2.1 общие сведения модели Колмогорова……………………………

2.2 Приложение модели Колмогорова……………………………….

2.2.1 Модель “Хищник-Жертва”………………………………….

2.2.2 Модель Гудвина………………………………………………..

Глава III Исследование периодических задач в модели Колмогорова….

3.1 Иследование классической модели Колмогорова……………………

3.1.1 Исследование модели Гудвина…………………………………

3.1.2 Исследование модели “Хищник - Жертва”………………….

3.1.3 Исследование усовершенствованной модели “Хищник - Жертва”..

3.1.4 Исследование более усовершенствованной модели “Хищник-Жертва”……………………………………………………………………..

3.2 Исследование периодических задач………………………………………

Введение

Теория динамических систем широко востребована большим спектром наук - физикой, биологией, механикой, экономикой и т.д. Она позволяет не только определить возможное направление развития исследуемого объекта, но и разработать комплекс адаптивных воздействий на систему для корректировки этого направления.

Исследованием динамических систем занимались такие отечественные и зарубежные ученые, как Ляпунов, Понтрякин, Четаев, Красовский, Аносов, Пуанкаре, Хайрер.

Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени в точке пространства определить его будущее в любой момент времени.

В моей дипломной работе рассматриваются непрерывные динамические системы.

Рассматриваю модель Гудвина, модель “Хищник - Жертва”, модель Колмогорова. Для этих моделей нахожу состояние равновесия, устойчивость, периодические решения.

Глава I. Динамические системы: основные понятия.

1.1. Понятие динамической системы

Одним из основных понятий во многих областях знаний является понятие системы. В широком смысле слова системой называют совокупность каких-либо элементов (реальных или идеальных), находящихся как во взаимной связи, так и во взаимодействии со своим окружением. Понятие системы активно используется в естественных и общественных науках, в технике. Примерами систем являются биосфера (совокупность всех живых организмов Земли), Солнечная система (в нее, наряду с Солнцем, входит также ряд планет и астероидов), автомобиль (как техническая система, включающая совокупность различных механизмов, агрегатов и узлов автомобиля), банковская система данного государства, числовая система (например, система целых чисел).

Многие системы описываются и изучаются, опираясь на соответствующую математическую модель. Такая модель включает совокупность некоторых величин, определяющих состояние системы, и законов, которые описывают взаимосвязь между этими величинами. Имея правильную математическую модель, можно быстро и дешево решить многие проблемы, относящиеся к структуре и эволюции системы.

Модели, описывающие систему в определенный момент времени, либо неизменяемую в определенном смысле в течение некоторого промежутка времени, называют статическими моделями. В этом случае говорят также о статической системе. Статические системы возникают, например, в задачах построения математических моделей, описывающих состояния каких-либо технических конструкций (мостов, балок и т.п.) в условиях равновесия.

Модели, в которых описание системы включает зависимость ее состояния от времени, называют динамическими моделями. В этом случае говорят также о динамической системе (ДС). Состояния динамической системы в определенный момент времени t определяются набором x величин, при этом x может быть скалярной или векторной величиной, матрицей, функцией и т.д. Состояния x в реальных системах обычно связаны с наблюдаемыми количественными характеристиками: перемещение или скорость объекта, величина тока или напряжения, температура тела, численность популяции и т.п.

Определение динамической системы обычно включает:

множество возможных состояний D , называемое пространством состояний или фазовым пространством системы;
закон или оператор эволюции F, ставящий в соответствие каждому состоянию системы в начальный момент времени t = 0 и каждому последующему моменту времени t0 новое значение состояния F(x,t) D.

Таким образом, знание оператора эволюции F и состояния системы в начальный момент времени позволяет однозначно определить ее состояния во все последующие моменты времени.

Детерминированность характера поведения динамической системы отражают следующие свойства оператора эволюции:

1. F(x,0) =x;

2. F(F(x, t₁), t₂) = F(x, t₁+t₂).

Первое свойство означает, что в каждый момент времени динамическая система может находиться только в одном состоянии. Второе свойство означает, что результат эволюции системы за время единиц будет таким же, как если бы сначала зафиксировать ее изменение за время единиц, а затем получить состояние измененной системы еще через единиц времени.

Основы современной теории ДС были заложены в работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре, посвященных развитию качественных методов исследования дифференциальных уравнений.

Методы и понятия современной теории динамических систем оказались чрезвычайно полезными для анализа различных эволюционных (т.е. изменяющихся во времени) процессов не только в физике и механике, но и в химии, биологии, экономике, информатике и др. В своем развитии понятие динамической системы наполнялось все более и более глубоким содержанием. В настоящее время понятие ДС охватывает объекты любой природы, состояние которых изменяется во времени по некоторым законам. Это могут быть физические, химические, биологические, экономические и др. объекты, вычислительные процессы в математике и информатике и т.п.

1.2 Решение непрерывных динамических систем

1.2.1Основные понятия непрерывных динамических систем.

Если в определении ДС время t непрерывно, то говорят о непрерывной ДС, о ДС с непрерывным временем или о потоке. Для непрерывных ДС закон эволюции позволяет по каждому начальному (в момент времени t = 0) состоянию системы определить ее будущие состояния во все последующие момент времени

Непрерывные ДС часто описываются дифференциальным уравнением

(1)

обычно при этом выполнены условия:

1) функция f(x) является непрерывно дифференцируемой в ограниченной или неограниченной области D;

2) для каждого решение x = x(t) задачи Коши

(2)

продолжимо на всю числовую ось

Множество образует фазовое пространство динамической системы. При этом по каждому начальному (в момент времени ) состоянию рассматриваемой динамической системы ее дальнейшие состояния x(t) определяются по решению задачи Коши (2).

Особо отметим условие 2). В общем случае решение x = x(t) задачи Коши (2) может быть определено лишь в некоторой окрестности точки . Например, решением уравнения с начальным условием является функция определенная лишь при

В теории динамических систем, однако, интерес представляют, первую очередь, такие дифференциальные уравнения, решения которых могут определены, по крайней мере, для всех положительных t. Это связано, во-первых, с тем обстоятельством, что огромное число представляющих практический интерес задач приводят именно к таким уравнениям. Во-вторых, наиболее интересные явления, наблюдаемые в динамических системах, связаны с неограниченностью возрастания времени t.

Решением дифференциального уравнения (1) называют функцию x = x(t), определенную на некотором интервале a < t < b и которая при подстановке в (1) превращает его в тождество.

1.2.2 Постоянные и периодические решения.

Среди бесконечного многообразия решений и, соответственно, траекторий дифференциальных уравнений особое место занимают постоянные и периодические решения, которым обычно отвечают установившиеся режимы функционирования многих динамических систем.

Решение системы (1) или (2) называют постоянным , если при некотором .

Решение называют периодическим или T-периодическим, если найдется число такое, что число в этом случае называют периодом решения .

Траектории автономных систем, соответствующие постоянным решениям, называют точками равновесия или неподвижными точками, а периодическим решениям- замкнутыми траекториями или циклами.

Отметим следующее очевидное утверждение, позволяющее выделять точки равновесия автономной системы (1) без предварительного построения его решений.

Теорема1. Для того, чтобы точка была точкой равновесия автономной системы (1) необходимо и достаточно выполнение равенства

Из этой теоремы следует, что точки равновесия автономной системы (1) совпадают с решениями уравнения

Не являющегося дифференциальным уравнением.

Например, дифференциальное уравнение имеет две точки равновесия получаемые как решения скалярного уравнения а уравнение не имеет точек равновесия.

1.2.3 Изолированные точки равновесия и циклы.

Постоянное решение системы (1) называют изолированным или изолированной точкой равновесия, если найдется шар положительного радиуса с центром в точке , в котором система (1) не имеет других постоянных решений.

Пусть теперь периодическое решение системы (1) и соответствующий цикл в фазовом пространстве . Пусть дано число . Множество называют ε-окрестностью цикла K;

Периодическое решение системы (1) называют изолированным, если найдется ε-окрестностью цикла K такая, что в ней не содержится других циклов системы (1.1).

Изолированные циклы часто называют так же предельными циклами автономных систем. Такими решениями обычно описываются незатухающие периодические процессы в различных физических, механических, биологических и других системах.

1.2.4 Понятие о фазовых портретах автономных систем.

Фазовое пространство заполнено траекториями системы (1), причем эти траектории взаимно не пересекаются.

Общую картину расположения траекторий системы (1) в фазовом пространстве называют фазовым портретом системы. Фазовые портреты автономных систем определят так называемое качественное поведение решений системы.

1.2.5 Понятия устойчивости.

Пусть математическая модель какого либо процесса описывается дифференциальным уравнением (1).

Пусть какое-либо интересующее нас решение, удовлетворяющему начальному условию и определенное при всех . Другими словами, пусть решение задачи Коши (1.2).

В реальности значение может быть известно лишь с некоторой погрешностью. Поэтому возникает естественный вопрос о том, будет ли решение уравнения (1), близким к при всех , если в начальный момент оно было близко к состоянию ? Это и есть вопрос об устойчивости решения уравнения (1).

Ответ на поставленный вопрос об устойчивости решений может быть как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим для иллюстрации линейное уравнение

(3)

Где некоторый коэфициент. Решением этого уравнения с начальным условием будет функция . В частности, это уравнение имеет нулевое решение

Пусть сначала . Тогда при любом решение уравнения (3) стремиться к бесконечности при Поэтому говорить о том, что малому изменению начальных данных соответствует малое же изменение ее решения на всем бесконечном полуинтервале уже не приходиться. Это просто не верно.

В рассмотренном случае решение уравнения (3) таково, что какими бы малыми не были погрешности начальных условий, они могут вызвать большие изменения решения при Решения, обладающие таким свойством, принято называть неустойчивыми.

Пусть теперь Тогда все решения уравнения (3), близкие по начальному условию к решению , остаются близкими к нему и при всех .

В рассмотренном случае решение уравнения (3) таково, что малые погрешности начальных условий могут вызвать лишь малые изменения решения при всех Решения обладающими таким свойством принято называть устойчивыми.

Проведенные рассуждения показывают, что решение уравнения (3) является:

неустойчивым при
асимптотически устойчивым при
устойчивым, но не асимптотически при

1.3 Периодическая задача

Рассмотрим уравнение вида

Где квадратная матрица размерности N.

Уравнение (4) имеет нулевую точку равновесия при

Вопрос: Имеет ли уравнение (4) в окрестностях точки x=0 T-периодические (или qT- периодические решения)?

Приведем формулу общего решения системы (4). Справедливо

Теорема2. Вектор функция является решением задачи Коши

Где заданный вектор.

Из этой теоремы получим

(5)

Пусть это T- периодическое решение

Подставив в уравнение (5) получим

(6)

Это уравнение для нахождение начальных значений T- периодических решений уравнения (4),

Уравнение (6) это уравнение вида

(7)

отсюда следует что .

Теорема3. Если не имеет собственного значения 1, то уравнение (7) в некотором шаре имеет только одно решение при всех близким к

Следствие. Уравнение (7) может иметь ненулевое решение близким к , если имеет собственное значение 1.

Глава II. Модель Колмогорова в нелинейной динамике.

Общие сведения модели Колмогорова.

Опишем формально динамическую систему с непрерывным временем, моделирующую динамику численностей взаимодействующих популяций. Пусть динамика численности изолированной популяции определяется дифференциальным уравнением Здесь – численность популяции в момент времени коэффициент прироста, который зависит от текущей численности. Если имеется несколько взаимодействующих популяций, то коэффициент прироста каждой из популяции в самой общей ситуации зависит от численностей всех рассматриваемых популяций, и мы получаем систему дифференциальных уравнений:

(8)

Где вектор численностей(или плотностей) взаимодействующих популяций, вектор-функция, каждая компонента которой представляет собой коэффициент прироста соответствующего вида. Динамическую систему (8) будем называть системой популяционной динамики. Систему (8) часто называют популяционной моделью Колмогорова.

Приложение модели Колмогорова.

Модель "хищник-жертва"

В динамике биологических популяций одной из наиболее известных является модель "хищник-жертва". Рассматривается биологическое сообщество, содержащее два вида, один из которых "хищники", а другой - их добыча, называемая "жертвой" (например, волки).

Пусть и - численность популяций жертв и хищников соответственно. Естественно их численность меняется во времени, т.е. Тогда - скорости изменения популяций.

В отсутствие хищников популяция жертв будет расти; будем считать, что этот рост подчиняется закону Мальтуса где a > 0. Однако наличие хищников уменьшает рост популяции жертв, причем чем больше популяция хищников, т.е. чем больше , тем меньше скорость возрастания популяции жертв. Поэтому естественным будет предположение, что коэффициент a зависит от, т.е., причем функция является убывающей. Пусть для простоты функция является линейной:, где b > 0 - коэффициент "кровожадности" хищников. В результате получим уравнение.

Аналогично популяция хищников уменьшается в отсутствие жертв: , где c > 0. Наличие жертв компенсирует это уменьшение, что приводит к уравнению .

Таким образом, модель "хищник-жертва" приводит к системе уравнений

(9)

называемой системой Лотки-Вольтерры.

Модель "хищник-жертва" является классическим примером так называемой консервативной динамической системы. В качестве фазового пространства этой системы обычно рассматривают первый октант плоскости

Модель Гудвина.

Модель Гудвина построена для описания классовой борьбы. Рассмотрим два типа граждан: рабочих и капиталистов. Рабочие тратят весь свой доход на потребление,капиталисты накапливают свой доход , где Y-это продукция производства. Цена потребительских товаров отнормирована к единице. Пусть K означает капитал, - производительность труда,возрастающую с постоянной скоростью g, k= - коэфицент капиталоемкости продукции, а - предложение на рынке рабочей силы, которое увеличивается с темпом роста n. Доля затрат на оплату труда по отношению к национальному доходу составляет . Следовательно, доля прибыли капиталистов составляет . Поскольку сбережения определены как доля инвестиций составляет причем выбытием капитала мы пренебрегли. При постоянном значении капиталоемкости k получаем, что . Итак, в силу

И получим .Вводя новые переменные – долю затрат на оплату труда, и коэффицент занятости можно показать, что

где Будем считать ставку заработной платы быстрой переменной, которая определяется в соответствии с кривой Филлипса, т.е

Линейная аппроксимация этого соотношения приводит нас к Таким образом, нами получена модель Гудвина в следующем виде:

ГлаваIII. Исследования периодических задач в моделях Колмогорова.

Исследование классических моделей.

3.1.1 Исследование модели Гудвина.

Модель Гудвина имеет вид:

Найдем неподвижные точки модели Гудвина:

Решим систему уравнений

И мы имеем две неподвижные точки:

Обозначим неподвижные точки через

II. Найдем для неподвижных точек матрицу Якоби.

-матрица Якоби

Найдем собственные значения для т.M.

Подставив вместо a и c первоначальные значения получим:

Построим фазовый портрет для т.M

тогда если :

то т.M ассимтотически устойчивый узел.

Устойчивый узел

Седло

Прямая

Найдем собственные значения для т.N

Найдем фазовый портрет для т.N

-мнимые числа, тогда точка устойчива.(Центр)

Центр

3.1.2. Исследование модели “Хищник-Жертва”

- Хищник – Жертва

Найдем неподвижные точки модели

2. Решаем систему

Обозначим через K=(0;0) и через L=(

Найдем матрицу Якоби

Найдем Det

Получились мнимые корни то фазовый портрет будет Центр.

3.1.3 Исследование усовершенствованной модели “Хищник-жертва”.

Найдем неподвижные точки

2. Решим систему

Берем корни которые больше нуля. Отсюда получим

Найдем матрицу Якоби

Найдем Det

Найдем фазовый портрет

Пусть a=c=2;b=3 и α=γ=2; β=3;. Тогда получим

Найдем Det

Найдем фазовый портрет, т.к корни мнимые, то фазовым портретом будет являться центр.

3.1.4 Исследование более усовершенствованной модели “Хищник-жертва”.

Найдем неподвижные точки

3. и

Найдем матрицу Якоби

Для точки (0;0) :

Найдем Det

Найдем фазовый портрет

Для точки (1;1) :

Найдем Det

Для точки (;) :

Найдем Det

Найдем фазовый портрет

Т.к собственными значениями являются мнимые корни,то фазовый портрет будет центр

Исследование периодических задач.

Рассмотрим модель “Хищник - жертва”

И сделаем в ней замену:

где

Получим систему вида:

Это и есть уравнение вида: (*)

Вопрос: Имеется ли в уравнении (*) T- периодические решения в окрестности точки равновесия

Перейдем в уравнение :

, где

Изучается задача о T- периодических решений уравнения (*) в окрестности точки равновесия x=0.

Формула Коши для ∀ решения уравнения (*)

Пусть Пусть это T-периодическое решение:

, подставив получим :

(**)

Это уравнения для нахождения начальных значений T- периодического решения уравнения (*), где

Уравнение (**) – это уравнение вида

Где

Т.к (μ) имеет собственные значения имеет собственные значения .

Теорема. Если не имеет собственного значения 1, то уравнение (4) в некотором шаре имеет только одно решение при всех близким к

Следствие. Уравнение (4) может иметь ненулевое решение близким к , если имеет собственное значение 1.

Рассмотрим систему Хищник-жертва на Т- периодическое решение:

Пусть , тогда

Отсюда сделаем вывод: Чем больше период T, тем больше существуют периодические решения.

Рассмотрим уравнение вида:

Наше уравнение разложим в ряд Тейлора:

Это уравнение аналогично с уравнением (*) и решаем так же как и в уравнении (*).

Формула Коши для ∀ решения уравнения (*)

Пусть Пусть это T-периодическое решение:

, подставив получим :

(**)

Это уравнения для нахождения начальных значений T- периодического решения уравнения (*), где

Уравнение (**) – это уравнение вида

Где

Т.к имеет собственные значения имеет собственные значения .

Рассмотрим систему Хищник-жертва на Т- периодическое решение:

Пусть , тогда

Отсюда сделаем вывод: Чем больше период T, тем больше существуют периодические решения.

Список использованных источников

1.Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. –М.: МЦНМО, 2005.-464 с.

2. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

3.Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соровского профессора. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

4.Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динаических систем на плоскости. – М.: Наука, 1967. 488 с.

5. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

6.Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-296 с.

Динамические системы: основные понятия 📙 Дипломная → 🆔 5592