Физические задачи на экстремум функции

Министерство  образования Республики Беларусь

ГУО “Средняя обще образовательная школа №13 г. Бреста имени В.И. Хована” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Физические  задачи на экстремум     функции 
 
 
 
 
 

                   Выполнили:

                 Ученики 10 “А” класс

                                   Мокшин Артём Игоревич

                Никитюк Павел Владимирович

                   Руководитель:

                 Волынец Анна Петровна 
 
 
 
 
 

          Брест

                              2010 год 

             Содержание 
         

ВВЕДЕНИЕ______________________________________________3 

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ_________________4 

ПРОИЗВОДНЫЕ В МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ_________________________________________________5 

ФИЗИЧЕСКИЕ  ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ ФУНКИИ________________________________________________7 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ__________________________________________13 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ_________________________________14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             Введение  

Обоснование выбора темы:

Использование метода исследования функции на экстремум, изучаемого в курсе математики 10 класса, позволяет решить ряд физических задач из разделов «Механика», «Молекулярная физика», «Электростатика», нетрадиционными физическими способами. Но это требует дополнительной работы по освоению данного метода математического анализа не на абстрактных примерах, а в конкретных физических ситуациях, что мы и попытались сделать в данной работе. Для нас это оказалось необходимым и важным, потому что при решении задач для поступающих в ВУЗы мы столкнулись с такими задачами, которые без применения методов математического анализа или не решить совсем, или с его использованием они решаются проще. Работа над данной темой позволила нам осознать прикладное значение метода математического анализа.

Цель работы:

показать, что существует большое количество физических задач из различных разделов курса физики, решаемых проще и лаконичнее, если использовать понятие производной функции из математики.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 

    Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения дифференциального  исчисления и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587). 

    Дифференциальное исчисление зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея дифференциального  исчисления состоит в изучении функций в малом. Точнее: дифференциальное исчисление даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки.  

     ПРОИЗВОДНЫЕ В МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ 

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.  Процесс вычисления производной называется дифференцированием. 

Физический смысл производной функции:

Если положение точки при её движении по числовой  прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х. 
 
 
 

     ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

   Правила вычисления производных:

   Если  функции f и g имеют конечные производные при , то:

   1) - постоянные;

   2) ;

   3) .

   Производная сложной функции:

   Если  функции  имеют конечные производные и , то . Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная. 

   Таблица производных:

   Если  x - независимая переменная, то справедливы формулы:

   1) ;

   2) (ax)' = ax ln a,   a > 0,   (ex)' = ex;

   3) (sin x)' = cos x;

   4) (cos x)' = - sin x;

   5) ;

   6) ;

   7) ;

   8) ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 

Задача №1

Нужно перебрасывать камни через преграду высотой h. Горизонтальное расстояние до преграды l. При какой минимальной скорости камней это возможно выполнить? 
 
 
 
 
 
 
                                         h 
 
 
 
 
Решение:

Свяжем с точкой вылета камней систему координат и конкретизируем условие (см. рис.). На камни действует только сила тяжести, сообщающая им ускорение g, направленное вертикально вниз. Поэтому изменение их координат:

 ;
.

Исключая t, получим уравнение параболы:

 
.

При x = l ,y = h, поэтому  

Отсюда (1)

Поскольку числитель в заданных условиях не изменяется, можно исследовать на экстремум лишь знаменатель функции(1). Преобразуем его:

Продифференцируем полученное выражение и  приравняем к нулю:

Вводя обозначение   , получим

 

- не удовлетворяет условию 

  и   .

При этом значении аргумента функция (1) минимальна. 
 

Ответ:  

Задача №2

Спасатель вблизи берега озера должен оказать помощь тонущему. Зная свою скорость движения по суше v и по воде u, он должен выбрать траекторию, при которой помощь подоспеет при минимальном времени. Какому условию должна отвечать траектория?

 

Решение:

Проанализируем условие задачи. Спасатель бежит быстрее, чем плывёт. Казалось бы, ему следует бежать к той точке берега, откуда кратчайшим окажется водный отрезок пути. Но при этом удлиняется общий путь, а от него зависит результат. И минимальность времени при таком выборе траектории оказывается также неочевидной.

Представим траекторию спасателя двумя отрезками СО – по суше и ОТ по воде(см. рис.). Проведём через точку Т перпендикуляр к берегу и введём обозначения: СВ = l, AB= h1, AT = h2. С учётом заданных скоростей общее время движения спасателя: t =CO/v+OT/u или   
  

Общее время определяется выбором точки О или отрезка x. Продифференцировав полученную функцию t0(x) по x и приравняв производную к нулю, получим:

 
Заметим, что и .

Поэтому условие экстремума можно записать в виде    или

Полученное условие соответствует минимуму функции. 
 

Задача №3

Необходимо на лодке переправится на противоположный берег быстрой реки, скорость течения которой u больше, чем  скорость лодки . Под каким углом к течению должна быть направлена скорость лодки, чтобы  снос её течением оказался минимальным?  

Решение:

Скорость лодки относительно берега определяется векторной суммой её скорости относительно воды  и  скорости течения u. Направим ось Х по течению, а ось у поперёк. Обозначим ширину реки через b . Так как проекция вектора суммы равна алгебраической суме проекций слагаемых векторов, то

Снос лодки за время движения s= *t, где . Делая подстановку, получим:   или

(2)

Найдём значения угла, при котором функция (2) имеет экстремум: 

 )) =   =  
 

Откуда  , и тогда   .

Угол, под которым следует держать курс, чтобы снос лодки течением оказался минимальным:

 

Ответ:  

Задача №4

В вертикальной трубе находится столб жидкости высотой H. На какой высоте h от основания следует проделать отверстие в стенке трубы, чтобы дальность полёта струи оказалась максимальной?  

Решение:

Горизонтальная дальность струи зависит от её скорости и времени полёта

х= *t. Начальная скорость струи определяется расположением отверстия относительно уровня свободной поверхности: , а время полёта зависит от высоты: .

На основании приведённых соотношений для горизонтальной дальности получим

(3).

Считая переменной h, функцию (3) исследуем на экстремум.

Ответ:  
 

Задача №5

В горизонтальной трубе длиной l  находится положительно заряженный шарик. Вблизи противоположных концов трубы находятся закреплённые положительные заряды и . Найти положение равновесия шарика из условия минимальности потенциальной энергии в этом положении. 

Решение:

Потенциальная энергия шарика в поле заряда

рассчитывается по формуле
и в поле заряда
:
.

Суммарная потенциальная энергия равна

(4)

  Экстремум функции (4) отвечает условию равновесия. Продифференцируем функцию(4) и приравняем к нулю

(5) 

Обратим внимание на то, что полученный

Результат фактически выражает условие компенсации 
кулоновских сил. Следовательно, минимум потенциальной энергии отвечает условию компенсации сил. Мы получаем возможность характеризовать 
условие равновесия как состояние, в котором потенциальная энергия системы минимальна. Это широко употребительная в физике интерпретация 
условия равновесия. 

Из данного равенства (5) получим

.

Отсюда

Решим квадратное уравнение

-не удовлетворяет 

Ответ:  
 
 

Человек может двигаться  по полю со скоростью  v, а по шоссе – со скоростью u. Ему необходимо из точки А в поле  попасть в точку С на шоссе. Под каким углом к шоссе ему нужно двигаться, чтобы попасть в точку С за минимальное время?

Решение: 

Выведем два  отрезка траектории – АВ и ВС и введём обозначения. Общее время  движения: . Выразим отрезки АВ и ВС через . После подстановки время выражается как функция угла: . Исследуем эту функцию на экстремум

Ответ:  

Задача №6

Гелий массой m в цилиндре под поршнем занимает объём при давлении . Этот газ медленно переводят в состояния с параметрами   и , причём процесс перехода характеризуется законом p=b-a*V. Определить максимальную температуру в этом процессе.

Решение:

Макроскопические параметры состояния газа связаны уравнением Менделеева – Клапейрона: . Здесь М - Молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная. Подставим сюда выражение для p:(b-aV)*V= . Отсюда температура как функция объёма: .(1)

Значение параметров начального коэффициента газа позволяют коэффициенты

а и b

Решая данную функцию получим:

и

Исследовав функцию (1) на экстремум получим

Ответ:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

    Школьная программа по математике предусматривает в теме «Производная и её применение» ознакомление с методом нахождения экстремальных значений функции. Данный метод имеет важнейшее значение для решения целого класса задач из разных разделов курса физики. Специфика задач данного класса включает получение на основе некоторых физических закономерностей функциональной зависимости и нахождение экстремального значения.

    Практика показывает, что даже при наличии всех необходимых знаний, необходимых для решения вышеперечисленных задач, задачи с физическим содержанием представляют значительную трудность для учащихся, а порой оказываются непосильными. Метод, освоенный лишь на абстрактных  примерах, не работает в конкретных физических ситуациях. Прикладное значение метода исследования функции на экстремум остаётся нераскрытым.

    Мы попытались в своей работе преодолеть этот недостаток, то есть освоить тему «Исследование функции на экстремум» на уровне метода применения. Подобранный нами материал призван оказать помощь учителю математики для иллюстрации её прикладной значимости.

    Для учеников и учителей, которые пожелают продолжить отработку метода на материале физики, можно порекомендовать задачи из следующих сборников: 

  1. Задачи по физике под редакцией О.Я. Савченко, Москва, Наука, 1981
  2. Гольдфарб Н.И., Сборник вопросов и задач, Москва, «Высшая школа», 1982
 

    Предлагаемые задачи повышенной сложности мы предлагаем использовать на факультативных занятиях по математике и физике, а также для классов с углубленным изучением математики и физики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

  1. Беляева Э.С., Монахов В.М., «Экстремальные задачи», Москва,             Просвещение, 1977
  2. Новодворская Е.М. Дмитриев Э.М., «Методика проведения упражнений по физике во втузе», Москва, «Высшая школа», 1981
  3. Володарский В.Е., «Физические задачи на уроках математики» и журнал «Математика» в школе» №4, 1976
  4. Гельфанд М.Б., Берман В.П., «Упражнения межпредметного характера к теме «Производная», журнал «Математика в школе» №2, 1979
  5. Рыб К.А.,. Бодрякова Н.О, «Физические задачи на экстремум функции», журнал «Математика в школе» №5, 1980
  6. Задачи по физике под редакцией О.Я. Савченко, Москва, Наука, 1981
  7. Гольдфарб Н.И., Сборник вопросов и задач, Москва, «Высшая школа», 1982
  8. Степанова Г.Н., Сборник вопросов и задач по физике, СПб, «Специальная литература», 1996
  9. Методические рекомендации для абитуриентов, ГААП, СПб, 1993
  10. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., «Алгебра и начала анализа 10-11кл.», Москва, «Просвещение», 2003
  11. «Школа-Пресс», Математика в школе №3. Москва 1993

Физические задачи на экстремум функции 📙 Дипломная → 🆔 22493

Физические задачи на экстремум функции 📙 Дипломная → 🆔 22493

Физические задачи на экстремум функции