Логика высказываний

Содержание

Введение...................................................................................................................2

Глава I. Классическая логика высказываний и элементы использования

строгой и релевантной импликаций в учебном процессе...................................4

§1 Проблема логического вывода.........................................................................4

§2 Классическая логика высказываний................................................................7

§3.Парадоксы классической импликации...........................................................15

§4 Способы решения парадоксов.........................................................................18

Глава II. Трёхзначная логика Лукасевича...........................................................23

§ 1. Введение в логику третьего истинностного  значения.

Аксиоматизация.....................................................................................................23

§2. Трехзначная модальная логика Лукасевича..................................................26

§3. Погружение классической логики в  Ь₃..........................................................34

§4. Импликация Лукасевича и трехзначная  интуиционистская логика...........36

Заключение.............................................................................................................41

Приложение (факультатив)...................................................................................43

Актуализация.........................................................................................................43

Содержание факультативного курса...................................................................45

Содержание занятий.............................................................................................45

Список используемой литературы:.....................................................................57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Данная работа посвящена  рассмотрению понятия логическое следование, в связи с попыткой выражения его интуитивного представления, то есть того представления, которое сложилось за последнее время в сознании человечества. Наука новейшего времени, сохраняя глубину фундаментальных принципов, теорий и концепций прошлых периодов своей истории, достигала изощрённых технически и технологически методов и средств получения результатов. Если прибегнуть к метафорическому выражению этой мысли, то можно сказать, что поиск новых знаний происходит в шахтах большой глубины с помощью автоматизированных средств. Сама наука логика, начиная со своего возникновения и заканчивая последними десятилетиями, стремится к такому описанию понятия следование, которое бы в точности совпадало с представлением человека о нём. При таком стремлении очень часто возникают соображения по преобразованию логических операций мозга на описательный уровень. Эти соображения стремятся привести предельно, как только возможно, точно и при этом предельно просто. В связи с этим значительно упрощается смысл следования, что в свою очередь приводит к возникновению парадоксальных ситуаций, решение которых способствует лучшему пониманию понятия следование.

Актуальность темы обусловлена  тем, что если в качестве одной  из главных задач обучения ставить  задачу развития и приобретения свойств  и качеств личности, необходимых для исследовательской и творческой деятельности, то основной можно считать задачу формирования и развития умения мыслить по аналогии, умения обобщать, умения анализировать, наблюдать и делать выводы. А для того чтобы правильно реализовать данные логические понятия недостаточно простого логически последовательного мышления. В процессе решения возникающих проблем важным оказывается, как правило, всё: и последовательность, и интуиция, и эмоции, и образное видение мира, и многое другое. Эффективная тренировка мышления должна способствовать совершенствованию этих сторон.

В данной работе рассмотрена  трёхзначная логика Лукасевича, как  инструмент для решения некоторых  проблем следования, путём добавления третьего истинного значения. Причём здесь закон исключённого третьего рассматривается как парадоксальный.

Работа состоит из двух глав, содержащих 8 параграфов, заключения, списка литературы. Кроме того, в  приложении дан конспект спецкурса (факультатива) по логике для 10-11 классов.

В первой главе рассказывается о классической логике высказываний и о проблеме логического вывода. Рассматривается условное суждение, классическая импликация и парадоксы классической импликации. Далее для попытки решения возникших парадоксов вводятся строгая и релевантная импликация. Во второй главе рассматривается трёхзначная логика Лукасевича как инструмент для решения проблемы, касающейся неопределённости в будущих случайных событиях. Рассматривается связь трёхзначной логики Лукасевича и классической.

Целью данной работы является изучение понятия «логическое следование», и подбор дидактического материала для проведения факультативного курса.

Из данной цели вытекают следующие задачи:

1.          изучение теоретической литературы  по теме.

2.         разработка и апробирование факультатива Практическая значимость работы состоит в том, что рассмотренный

материал представляет большую ценность, как для развития логического мышления, так и для  повышения интереса к математике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Классическая логика высказываний и элементы использования строгой и релевантной импликаций в учебном процессе.

 

§1 Проблема логического вывода

В наши дни, когда человечество всё больше и больше начинает передавать исполнение некоторых логических функций  мозга электронно-вычислительным машинам, большое значение приобретает глубокое знание законов правильного логического мышления. Дело в том, что ЭВМ обрабатывают передаваемую им информацию, осуществляя анализ составных частей и проводя их синтез, а в конце этого сложного и многофазового процесса «умозаключают» по законам общечеловеческой логики, которые заложены в них программой. А эти программы составляет человек, для которого важнейшим условием является то, что машина, получая информацию, по данной программе должна «делать выводы» близкие по своей структуре к выводам другого человека получившего ту же информацию.

 И первостепенное  значение приобретает проблема  логического следования, рассматриваемая  в данной работе. При изучении  такого широкого понятия как  логическое следование мы рассмотрим его сначала на уровне интуиции, то есть проанализируем то понятие логического следования, которое стихийно сложилось в процессе развития человечества. Так, чисто на интуитивном уровне мы можем сделать вывод о том, что логическое  следование должно вести от истинных посылок только к истинным. Например: из высказывания «Земля вертится», не должно следовать «Земля не вертится», из утверждения «Алюминий металл» — «Алюминий стекло», из утверждения типа «натуральное число n делится на 2 » не должно следовать «то же самое число n делится на 3».

Если бы мы пришли к  таким выводам, то установление между  такими утверждениями отношение  следования, не имело бы смысла. Логический вывод превратился бы из способа  развития знаний в средство, которое  стирало бы грань между истиной и заблуждением.

  Заметим, что для понятия логического следования, которое сформировалось за несколько столетий до образования существующей ныне математической (классической) логики характерной особенностью является то, что необходима некоторая смысловая связь между утверждениями. Например: если из утверждения «2*2=4» может, следовало бы утверждение «Солнце-звезда», то такое следование всё-таки плохо согласуется с давно сформировавшимся понятием следствия. Также из утверждения «Заряд электрона Кл.» не может следовать (в понимании общечеловеческой логики) утверждение типа «Человек—часть животного мира», из утверждения «Реклама—двигатель торговли» нормальный человек не сможет сделать вывод что «Человечество обитает на планете Земля».

Итак, мы определяем понятие  логического следования как условное суждение - такое суждение, в котором отображается зависимость того или иного явления от каких-либо условий и в котором основание и следствие соединяются посредством логического союза «если…, то...». Например: «Если тело подвергнуть трению, то тело начнет нагреваться».

Основание условного  суждения (та часть суждения, которая  начинается с союза «если» и до частицы «то») даёт нам знание о  том члене отношения, от существования которого зависит существование другого члена отношения. Следствие (та часть суждения, которая стоит после частицы «то») даёт нам знание о другом члене отношения. Связка свидетельствует о наличии отношения логического следования между основанием и следствием.

Например, в условном суждении «Если разомкнуть электрическую цепь, то тока в цепи не будет». Основанием будет знание о том, что цепь разомкнули, следствием - знание о том, что в цепи тока нет; связка утверждает, что между этими двумя явлениями существует определённая связь, а именно - «если есть одно, то есть и другое».

Всего различают 3 вида условных суждений:

1. суждения, отражающие причинные связи. Например: «Если пропустить свет через призму, то он преломится»;
2. суждения, в которых знание об одном факте есть логическое основание для утверждения нашего знания о другом факте (например, «Если столбик ртути в термометре поднялся, то значит, в комнате стало теплее»);
3. суждения, в которых один факт выдвигается как условие для существования другого («Если завтра будет хорошая погода, то мы отправимся в лес»).

В первом примере пучок  света преломился по той причине, что его пропустили сквозь призму. Во втором примере мы можем утверждать о том, что в комнате стало  теплее, зная, что столбик ртути  в термометре поднялся. В третьем примере, для того чтобы мы отправились на прогулку в лес, необходимо, чтобы в тот день была хорошая погода.

Здесь резонно может  встать вопрос о существовании какой-нибудь проблемы логического следования. Разъясним  это.

Общеизвестным фактом является то, что большая часть утверждений получается путём логического вывода из других утверждений, как логическое следствие последних. Также общеизвестно, что вопрос о том, когда одни утверждения логически следуют из других, с самого начала научной деятельности людей стал одним из важных и получил разработку как основной вопрос особой науки—науки логики.

Имеется ряд обстоятельств  позволяющих говорить о проблеме логического следования. Эти обстоятельства связаны с особенностями современной логики. Именно успехи современной логики в разработке теории вывода породили проблему логического следования:

1)Современная логика, как наука, есть, прежде всего, совокупность определённого рода формальных построений, т.е. для определения того или иного понятия встаёт необходимость выведения определённых теоретических правил (формул) по которым определяется данное понятие, его свойства и взаимоотношения с другими понятиями. А такие построения в свою очередь допускают различные возможности для описания одного и того же понятия. Использование же таких возможностей для описания каких-либо сторон познавательной деятельности человека применимо, но это является не единственно возможным способом применения. Данное использование связано с совокупностью довольно сложных абстракций и допущений, что предполагает некоторое предварительное понимание тех или иных познавательных операций. Таким образом, встаёт вопрос о соответствии формул логических построений такому пониманию этих познавательных операций.

2)При создании таких  формальных построений первостепенное значение приобретают соображения удобства исследования их свойств, соображения математической простоты, изящества и т.п. Очень часто соображения, связанные, связанные с последующим применением таких систем к познавательной деятельности человека вообще не принимаются во внимание, следствием чего может стать возможность отрыва теоретически исследованных фактов от данных полученных опытным путём. По причине чего может возникать вполне очевидное несоответствие между данными фактами и формулами данных построений. Разрешение же вопросов о том, как поступать с такого рода несоответствиями требует модификации имеющихся формальных построений и конструирования новых.

 3) Наконец, мы не можем судить о применимости тех или иных построений в исследовании некоторой предметной области, если она уже не изучена в какой-то мере на описательном уровне, то есть нам необходимы хоть какие-нибудь опытные данные, на основании которых мы сможем говорить о том применимо ли наше построение логической системы к данной предметной области. К сожалению, в современной логике данная сторона дела оказывается сравнительно слабо развитой.

    Всё сказанное относится к логическому следованию в первую очередь. В самом деле, эти обстоятельства не рассматривались в старой (доматематической) логике. Они характерны лишь для современной логики. И только потому, что данные обстоятельства всегда имеют место, мы можем говорить о проблеме логического следования.

 

§2 Классическая логика высказываний.

Посмотрим, что может дать нам классическая логика для определения связи между нашим интуитивным понятием следования и описанием его в математике.

2.1.Логические связки. Истинностные таблицы.

Логика  высказываний (пропозициональная логика) является разделом современной  символической  логики, изучающим сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения.  В отличие от логики предикатов простые высказывания при этом    выступают как целостные образования,   внутренняя структура   которых   не    рассматривается, а учитывается    лишь то, с помощью каких союзов и в каком  порядке  простые высказывания   сочленяются    в  сложные. Под высказыванием понимается то, что выражается повествовательным предложением.

В естественном языке  существует много способов   образования       сложных высказываний  из простых. Мы выберем пять общеизвестных грамматических связок (союзов):  «не», «и», «или», «если..., то» и «если и только если». Процесс символизации   естественного  языка  средствами  логики  высказываний   состоит в следующем.    Элементарные  высказывания  замещаются пропозициональными переменными р, q, r, ... с индексами или без них; указанные выше грамматические связки называются логическими связками   (пропозициональными связками), которые получили  следующие  обозначения  и  названия:  ¬ (отрицание),  ^  или  &  (конъюнкция),  ٧(дизъюнкция), → (импликация), ↔ (эквиваленция);  и, наконец, используются   скобки  (,) для того, чтобы можно было по-разному группировать высказывания     и    тем    самым    определять  порядок выполнения   операций. Отрицание является одноместной связкой, а остальные четыре — двухместными. Выражением языка логики высказываний будем называть любую последовательность указанных выше символов. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными. Такие выражения называются формулами, определение которых задастся следующими правилами, где буквы А, В... используются как метапеременные:

1) всякая пропозициональная  переменная есть формула;

2) Если А и В —  формулы, то (¬А), (А^В), (А٧В), (А→В), (А↔В) тоже формулы;

3) Никакие другие выражения  не являются формулами. Примерами  формул являются р, ¬q, ¬(p٧q). Внешние скобки при записи формул будем опускать. Таким образом, правила задают эффективный способ распознавания, является ли выражение логики высказываний формулой. Множество всех формул обозначим посредством For.

Теперь сделаем два  основных допущения, на которых основывается семантика классической логики высказываний:

(1) Каждое простое высказывание  является или только истинным, или только ложным (принцип двузначности). «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания и обозначаются соответственно И и Л или 1 и О.

(2)  Истинностное значение  сложного высказывания определяется  только истинностными значениями  составляющих его простых высказываний (принцип экстенсиональности). Это означает, что пропозициональные связки являются знаками истинностных функций.

Возникает вопрос, какие  истинностные функции соответствуют  нашим связкам?

Удобным способом задания  истинностных функций является табличный, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа—   значения самой функции:

 

 

 

p	¬p
1	0
0	1

 

P	Q	p→q	p٧q	P^q
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	1	0
0	0	1	0	0

p↔q

1

0

0

1

 

 

Отсюда, например, следует, что высказывание р→q ложно тогда и только тогда (т.т.т.), когда р истинно и q ложно. Приведенные выше таблицы называются истинностными таблицами, а определенные посредством их пропозициональной связки называются классическими связками.

Легко определить, сколько имеется различных классических связок. Число различных строк в таблице для истинностной функции с m аргументами равно 2 и на каждой из них значение функции можно задать двумя способами: 1 или 0. Поэтому число таких функций составляет 2 в степени 2. Отсюда, например, число одноместных связок равно 4, а число двухместных связок равно 16.

 

2.2. Законы логики

Каждая формула определяет некоторую истинностную функцию, которая  графически может быть представлена истинностной таблицей. Другими словами, каждая формула может быть представлена как функция от пропозициональных переменных, пробегающих по множеству (0, 1). Посредством истинностных таблиц функция единственным образом расширяется на всё множество For. Функцию ß: For — {0, 1) будем называть логической оценкой множества формул Fоr для любых А, В€ For

ß(¬А) 1 т.т.т., когда ß(А) = О

ß(А → В) = 0 т.т.т., когда  ß(А) = 1 и ß(В) = 0

ß(А٧В) = 0 т.т.т., когда ß(А) = ß(В) = 0

ß(А&В)=1 т.т.т., когда  ß(А) = ß(В) = 1

ß(А↔В) 1 т.т.т., когда ß(А) =ß(В)

Среди всего множества формул выделяются формулы, которые каждой строке истинностной таблицы принимают только значение, равное 1, т.е. ß(А) = 1 при любом приписывании значений пропозициональным переменным, входящим в А. Такие формулы называются тавтологиями (тождественно истинными высказываниями). В формальной логике тавтологии играют важную роль. Они служат для записи её законов, так как тавтологии являются всегда истинными высказываниями только в силу своей символической формы, независимо от содержания входящих в них исходных высказываний. Легко установить, что формулы

(1) р→ р,

(2)р ٧¬р,

(3) ¬(р ٨ ¬р)

являются тавтологиями. Законы, выражаемые этими формулами, называются соответственно законом  тождества, законом исключенного третьего и законом непротиворечия и были сформулированы уже Аристотелем. Использование этих законов в качестве способов рассуждения привело к тому, что они были названы основными законами мышления. Наиболее распространенной формулировкой закона исключенного третьего является следующая: одно из утверждений р или не р должно быть истинным. Эта формулировка получила в схоластической логике название tertium non datur. Закон непротиворечия формулируется следующим образом: два взаимно противоречащих высказывания не могут быть одновременно истинными, т. е. одно из них должно быть ложным. Последний закон формулируется у Аристотеля, прежде всего как универсальный принцип бытия, наиболее достоверный из всех начал. Однако уже на заре ХХ в., еще до того, как окончательно оформилась классическая логика, оба эти закона подверглись серьезной критике, что положило начало развитию неклассических логик. В связи с трехзначной логикой Лукасевича мы к этим законам ещё вернемся, а сейчас дополним список законов классической логики:

(4) ¬¬р↔p   (закон двойного отрицания)

(5) (р → q)→(¬q→¬p)  (закон контрапозиции)

(6) (¬р →¬q) →(q→p) (обратный закон контрапозиции).

Особое место среди  законов занимают чисто импликативные  тавтологии:

(7) р→(q→p) (закон утверждения консеквента)

(8) (p→(q→r))→((р→q)→(р→r)) (закон самодистрибутивности)

(9) (р→q)→((q→r) →(р→r)) (закон транзитивности)

(10) (р→(р→q))→(р→q) (закон сокращения).

Обратим внимание на исключительно  важное свойство истинностных таблиц: они дают нам эффективную процедуру  для решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная формула тавтологией. Указанная процедура называется разрешающей процедурой и отсюда следует, что данная логика высказываний является разрешимой логикой.

Приведем некоторые общие факты  о тавтологиях, настолько общие, что они называются правилами  логики высказываний.

1. Правило отделения (modus ponens). Если А и А→В тавтологии, то В тавтология (сокращенно МР).

2. Правило подстановки. Если  А(р) есть тавтология, то А(В)  тоже тавтология, где В замещает  каждое вхождение р, те. подстановка  в тавтологию приводит к тавтологии (сокращенно Subst). Уже отсюда следует бесконечное множество тавтологий.

2.3. Функциональная полнота

Будем называть формулы А и В  логически эквивалентными, если формула  А↔В есть тавтология. Очевидно, что  если формулы эквивалентны, то они  равны как истинностные таблицы, т.е. принимают одинаковые истинностные значения.

Назовем систему пропозициональных  связок М полной, если истинностная функция представима некоторой  формулой, в которую входят только связки из системы М, т.е. посредством  такой системы можно выразить все истинностные функции. Используя свойства логической эквивалентности, можно показать, что каждая логическая связка может быть определена в терминах ¬,٨,٧ в классической логике, т.е. система пропозициональных связок {¬,٨,٧ } является функционально полной. Более точно, для истинностной функции * можно найти такую формулу D, использующую только связки ¬, ٨, ٧, что истинностные таблицы для * и D равны.

Теорема о функциональной полноте. В классической логике каждая истинностно-фукциональная связка может быть определена в терминах ¬, ٨, ٧

Впервые подобная теорема была доказана Э.Постом

 

Отметим некоторые эквивалентности, показывающие взаимовыразимость одних связок через другие:

р٧q↔¬p→q,  p٧q↔(p→q)→q,  р٧q↔¬(¬p^¬q);

р^q↔¬(p→¬q),  р^q↔¬(¬p٧¬q);

p→q↔¬p٧q,  p→q↔¬(p^¬q);

(p↔q)↔(p→q)^(q→p).

Тогда системы связок {¬,→}, {¬,٧} и {¬,^} являются функционально полными. Это значит, что мы можем строить логику высказываний, взяв в качестве исходной любую из указанных систем связок.

2.4. Аксиоматизация. Адекватность

Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для  логики является понятие логического  следования. Одна из главных задач  логики заключается в том, чтобы  устанавливать, что из чего следует, и тем самым определять, какие  высказывания являются теоремами при заданных условиях. Говорят «В логически следует из А или является логическим следствием из А» и пишут А ╞ В. Если в совместной таблице истинности для А и В формула В имеет значение И во всех тех строках, где А имеет значение И. Отсюда следует, что А ╞ В т.т.т., когда А→В сеть тавтология. Если формула А является тавтологией, то иногда пишут ╞А. Приведенное определение логического следования без труда может быть расширено на некоторую систему формул Г и тогда пишут Г╞В. Примером логического следования (вывода) из посылок является правило modus ponens. Отметим также, что в силу табличного определения импликации получаем, что тождественно истинная формула А логически следует из любой системы формул. А из того, что имеется разрешающая процедура для тавтологий, получаем, что проблема выводимости произвольной формулы В из заданной системы посылок также разрешима.

Если определено понятие  тавтологии и определено семантическое  понятие логического следования (как это сделано выше), то говорят, что дано семантическое представление логики высказываний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако при этом возникает следующая серьезная проблема: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы переходят к синтаксическому представлению логики высказываний.

В рамках синтаксического подхода формальный (символический) язык логики высказываний и понятие формулы остаются прежними, а из всего множества тавтологий выбирается некоторое их конечное подмножество, элементы которого называются аксиомами. Например:

1. р→(q→p)

2. (p→(q→r))→((p→q)→(p→r))

3. р→(р٧q)

4. q→(р٧q)

5. (p→r)→((q→r)→((p٧q)→r))

6. (р^q)→p

7. (р^q)→q

8. (p→q)→((p→r)→(p→(q^r)))

9. (р→¬q)→(q→¬p)

10. р→(¬р→q)

11. p٧¬p

Таким образом, мы задали аксиоматическое определение логических связок ¬, ^, ٧,→ в отличие от табличного при семантическом описании логики высказываний. Переход от формулы или системы формул к формуле осуществляется с помощью уже известных правил, которые записываются следующим образом:

R1.Из А и А→В следует В (modus ponens)

      R2.Из ├А(р) следует ├А(В) (подстановка).

Так заданную логику высказываний обозначим посредством C₂ и назовем классической логикой высказываний

Из раздела (2.3) следует, что логику высказываний можно развивать на основе системы связок {¬,→}. Именно так впервые и представлена аксиоматизация С₂ в работе Г.Фреге Следующая аксиоматизация С₂ принадлежит Лукасевичу  который значительно упростил аксиоматизацию, предложенную Фреге:

1. p→(q→p)

2. (p→(q→r))→((p→q)→(p→r))

3. (¬p→¬q)→(q→p)

Правила вывода: modus ponens и подстановка. Детально эта аксиоматизация С₂ исследуется А.Чёрчем

Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества  аксиом и некоторого множества правил вывода, называется гильбертовским исчислением. Доказуемыми формулами (или теоремами) рассматриваемого исчисления называются любые формулы, которые могут быть получены из аксиом исчисления в результате применения (возможно, многократного) указанных правил. Запись ├А служит сокращением утверждения «А есть теорема». Если формула А выводима из некоторого множества Г исходных формул (посылок), то запись принимает вид Г ├А.

В качестве «вспомогательного» правила весьма полезной является теорема дедукции, когда какое-нибудь утверждение В доказывают в предположении верности другого утверждения А, после чего заключают, что верно утверждение «если А, то В»:

 

Теорема дедукции. Если Г — множество формул, А  и В—формулы и Г, А├В, то Г├А→В. В частности, если А├В, то ├А→В.

Исходя из синтаксического  представления логики высказываний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при семантическом подходе формулы интерпретируются как функции на множестве из двух элементов {0, 1}, а при синтаксическом — как определенный набор символов, и различаются только теоремы и не теоремы. Однако, несмотря на такое различие, оба подхода к построению логики высказываний, по существу, эквивалентны и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что понятия логического следования и понятия вывода эквивалентны. Рассмотрим в связи с этим теорему

Теорема адекватности. Для всякой формулы А, ├А т.т.т., когда ╞ А.

Доказательство в одну сторону, а именно: для всех А, если ├А, то ╞А носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. для доказательства теоремы нужно проверить, что все наши аксиомы (1)— (11) являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредственной проверкой с помощью истинностных таблиц. А наши правила вывода выбраны таким образом, что они сохраняют тавтологичность. Поэтому все формулы последовательности, образующей доказательство какой-либо теоремы исчисления С₂ , в том числе и сама доказанная теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы следует важнейшее свойство нашего исчисления высказываний С₂: в С₂ формулы А и ¬А не могут быть одновременно доказуемыми т.е. исчисление высказываний С₂ непротиворечиво. Ели бы это было не так, то используя аксиому (10) и применяя дважды modus ponens, получаем, что в С₂ доказуема любая формула В. В силу этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая теорема одновременно истинна и ложна.