Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Волгоградский Государственный Педагогический Университет 

Математический  факультет

Кафедра Методики Преподавания Математики 

ВКР

Обучение  доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики  5-6 классов 
 
 
 

                                       Исполнитель: Завгородняя Валерия Александровна

                                             Студентка группы М-42

                                             Руководитель: доцент кафедры методики

                                             преподавания математики Дюмина  Т. Ю. 
 
 

                                        Волгоград, 2009

Содержание:

Введение…………………………………………………………………………..3

Глава 1. Теоретические основы обучения доказательству………………….....7

    1.1. Доказательства в школьном курсе математики……………………….7

        1.2. Особенности обучения доказательствам школьников 5-6 классов…20

Выводы по главе 1……………………………………………………………….29

Глава 2. Организация деятельности учащихся 5-6 классов по обучению доказательствам………………………………………………………………….30

            2.1. Основные виды задач на доказательство, используемые в 5-6 классах……………………………………………………………………………30

     2.2. Структура и этапы организации деятельности учащихся по         обучению доказательствам……………………………………………………...40

Выводы по главе 2……………………………………………………………….56

Заключение……………………………………………………………………….57Литература……………………………………………………………………….59 
 
 
 
 

 
 
Введение

      Процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений.

      Обучение построению доказательства - одна из целей математического образования и является составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций.

      С переходом в среднее звено  школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых  дедуктивным путем. И если перед 7 классом мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как многие из них не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод.

      Дети  оказываются неподготовленными  по следующим причинам:

      - одновременно осваиваются новые умения и новый материал;

      - недостаточно разработан пропедевтический материал.

      Чтобы учащиеся в 7 классе были готовы к осуществлению  геометрического доказательства, необходима пропедевтика математических доказательств уже в 5-6 классах.

      В разное время исследователи уделяли  внимание вопросу обучения доказательствам. Например, Колягин Ю.М говоря о пропедевтике обучения доказательствам, имеет в виду следующие: школьника нужно научить понимать отличительные черты и структуру математического доказательства, выделять условие и заключение, не допускать различные ошибки. Он выделил типы ошибок при доказательстве, о происхождении которых учителю знать необходимо: незнание основных определений, непонимание дедуктивного построения курса математики. [10]

      Столяр  А. А. делает основной акцент  на обучение процессам поиска и построения доказательства. [21]

      Бреслер Г. Р. в своей диссертации пишет  о воспитании потребности у учащихся в доказательстве. Она выделила  линии, по которым должна вестись  подготовительная работа, способствующая сознательному усвоению доказательства: воспитание потребности в доказательстве; ознакомление с некоторыми вопросами структуры и сущности доказательства; подготовка к восприятию взаимно обратных теорем.[3]

      Кириллова С. В. строит свою методическую систему  пропедевтико-геометрической подготовки учащихся на основе теории о структуре геометрической деятельности. Эта методическая система включает в себя цели, содержание, технологию обучения и психолого-педагогические особенности учащихся.[9]

      Однако  при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного пропедевтического материала, позволяющего строить обучение школьников доказательствам в 5-6 классе, нет. Поэтому мы получаем противоречия:

1. между необходимостью включения в учебные пособия по математике 5-6 классов задач на доказательство и практическим отсутствием таковых;
2. между необходимостью пропедевтики математических доказательств в 5-6 классах и недостаточностью разработок соответствующих методик.

      Эти противоречия и явились мотивом для проведения настоящего исследования, определив его актуальность.

      Проблема исследования состоит в разработке методических основ пропедевтического обучения математическим доказательствам в 5-6 классах.

      Объектом исследования является обучение доказательству в курсе средней школы.

      Предмет исследования – процесс пропедевтического обучения математическим доказательствам в 5-6 классах.

      Целью работы является научное обоснование пропедевтики математических доказательств в 5-6 классах.

      Гипотеза исследования: пропедевтика обучения математическим доказательствам в 5-6 классах будет более эффективной, если:

1. проводить обучение доказательствам в соответствии с психологическими особенностями школьников 5-6 классов;
2. давать задачи  разного вида: задачи, требующие ответа да/нет; задачи построения выводов; задачи построения умозаключений; задачи, требующие открытия нового факта;
3. работать в соответствии с этапами пропедевтики: подготовительный этап, этап построения выводов, этап построения умозаключений, творческий этап.

      В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи исследования:

      1. Выявить особенности обучения доказательствам школьников 5-6 классов.

      2. Выделить основные виды задач на доказательство, которые могут быть использованы при обучении доказательству в 5-6 классах.

      3. Разработать методические основы пропедевтики обучения математическим доказательствам в 5-6 классах.

      Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

      - системный анализ;

      - деятельностный подход;

      - анализ психолого-педагогической, учебно-методической литературы по проблеме исследования, анализ школьных учебников, программ и учебных пособий;

      - изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики.

      Теоретическая значимость работы заключается в:

      - уточнении содержания понятия  доказательство;

      - выделении совокупности действий, составляющих его основу;

      - разработке основ организации пропедевтического обучения.

      Практическая  значимость исследования состоит в подборке тренировочных упражнений пропедевтики доказательств в 5-6 классах. Разработанная методика пропедевтики математических доказательств в курсе математики 5-6 классов может быть использована учителями, а также авторами учебных пособий, предназначенных для учителей, студентов и учащихся.

      На  защиту выносятся  следующие положения:

      1.Пропедевтика математических доказательств в 5-6 классах является необходимым условием успешного обучения геометрическим задачам на доказательство в 7 классе. Важно еще до изучения систематического курса геометрии осуществлять формирование у школьников некоторых навыков дедуктивных умозаключений и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения.

      2. Задачи, тренирующие навыки доказательства должны быть разного вида:

      1) Задачи, требующие ответа да/нет

      2) Задачи, тренирующие навык построения выводов

      3) Задачи построения умозаключений

      4) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность (творческие)

      3. Организуя деятельность учащихся по обучению доказательству поэтапно, мы обеспечим их навыком построения доказательству. Только в результате целенаправленной длительной работы в этом направлении учащиеся изучат структуру доказательства. 
 

      Глава 1. Теоретические  основы обучения доказательству

      1.1. Доказательства в  школьном курсе  математики

          В наше время трудно указать область математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии практики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась бы математическими методами. Смысл математизации знаний, как отмечает академик Б. В. Гнеденко, состоит не в том, чтобы все познание свести к чисто вычислительным или логическим операциям и не оставить места ни эксперименту, ни наблюдению. Цели математизации реальны и плодотворны. Их смысл можно высказать, пожалуй, таким образом: из точно сформулированных предпосылок выводить логические следствия, в том числе и такие, которые могут быть непосредственно наблюдаемы; сделать доступными логическому и количественному анализу сложные и запутанные процессы; не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том, чтобы создавать тот специфический математический подход, а вместе с ним и формальный аппарат, который позволил бы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности.

           Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер ее доказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.                                            

           Обучение доказательству способствует формированию нравственности. Обучение доказательству должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в средней школе. В обучении доказательству важная роль отводится обучению поиска способов доказательства, их сравнения, выбора наиболее простого из них.

           Анализ многочисленной литературы, в которой рассматривается проблема обучения доказательству, показывает, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследовании логических аспектов доказательства: сущности доказательства, его видов, правил вывода, обучения логическим действиям, входящим в процесс доказательства. В ряде работ находит отражение обучение эвристикам, овладение которыми облегчает поиск доказательства. (Наиболее ярко это направление представлено известными работами д. Пойа.)

         В литературе существуют разные точки зрения на сущность понятия «обучение доказательству».

          Одна из них сформулирована А. А. Столяром: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств» .[21] Таким образом, А. А. Столяр основной акцент в обучении доказательству делает на обучение процессам поиска и построения доказательства, специально противопоставляя его обучению работать с готовыми доказательствами. Эта концепция явилась, по-видимому, протестом против традиционно сложившейся в прошлом методики, в основном ориентированной на разучивание теорем и их доказательств и мало внимания уделявшей обучению самостоятельному открытию теорем и способов их доказательств.

      Есть  и иная точка зрения на обучение доказательству, сформулированная З. И. Слепкань: «под обучением доказательствам мы понимаем обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств».[5] З. И. Слепкань выделяет в проблеме обучения доказательству ряд последовательно решаемых задач:

      1) изучение готовых доказательств,  умение воспроизводить их;

      2) самостоятельное построение доказательств  по аналогии с изученными;        

      3) поиск и изложение доказательств  указанным учителем способом;

      4) самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений.

      Отметим также исследования, в которых  предпринята попытка выделения  уровней обучения доказательству. Так, К. Попером  и И. Лакатосом выделены такие уровни:

      1) понимание аргументации и ее повторение;

      2) самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение;

      3) самостоятельное доказательство  теоремы; 

          4) опровержение готовых доказательств.

            Существующие точки зрения на  обучение доказательству определяют соответствующие им направления в исследовании этой проблемы». Авторы одной из них ставят акцент на обучении школьников поиску способа доказательства и самостоятельному его осуществлению, авторы другой - на обучении умению разбираться в готовых доказательствах. Анализ литературы показывает, что эти точки зрения не противоречат друг другу, они лишь отражают две стороны проблемы обучения доказательству: логическую и эвристическую. Между тем реальный процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика (логические и эвристические приемы мышления, составляющие доказательство) взаимосвязаны и взаимообусловлены. Отсюда следует, что концепция обучения доказательству должна включать обучение как умению разбираться в готовых доказательствах, так и умению самостоятельно осуществлять их поиск и конструирование.

          Поэтому, подводя итог изложенному, под обучением доказательству будем понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению предложенных доказательств.

      Имеется большое число работ, в которых  обсуждаются отдельные аспекты проблемы обучения доказательству. Прежде всего отметим работы психологов, результаты которых служат обоснованием принятой концепции обучения доказательству (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский и др.). Среди таких положений выделим следующие:

      - развитие «доказательного» мышления  проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам;

      - доказательство — специфическая  деятельность, овладение которой  требует специального, целенаправленного  формирования составляющих ее действий.

      Действия, адекватные доказательству, имеют логический и эвристический характер. Их выделению и разработке методики формирования посвящены работы многих исследователей. Отметим наиболее важные результаты исследований логических аспектов доказательства.

1. Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний (А. А. Столяр).[21]
2. Процесс доказательства — сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным 
   структурам. Этому должны соответствовать и постепенное усложнение структуры доказательства, постепенное повышение 
   его уровня строгости (А. А. Столяр).[21]
3. Деятельность по доказательству включает следующие действия:

      - подведение объекта под понятие; выбор системы признаков, необходимых и достаточных для подведения под понятие, соответствующей конкретным условиям теоремы или задачи на доказательство; развертывание условия — выведение системы следствий; выделение в условии «поисковых» областей (Г. А. Буткин, М. Б. Волович);[4]

      - вычленение из формулировки теорем  их объектов, условия, заключения; запись теоремы в краткой символической  форме, построение для данной  теоремы ей обратной и установление  ее справедливости; перевод формулировки  теоремы на язык необходимых и достаточных условий (Л. М. Фридман);

      - выполнение логического анализа  формулировки теоремы, разработка  логических схем доказательства  отношений необходимости, достаточности, необходимости и достаточности между двумя событиями (Н. В. Миничкина);

      - построение умозаключений таким  образом, чтобы заключение любого  из умозаключений использовалось  в качестве посылки в одном  или нескольких последующих (Р.  Хашимов);

      - выделение условия и заключения  утверждения, заданного в словесно-символической форме; пользование правилами отделения, импликации, дедукции, противоречия, контрапозиции; распознавание понятия (отношения) с помощью подведения под теорему-признак; отыскание следствий с помощью выведения следствий из определения или с помощью подведения под теорему-свойство; расчленение теоремы с заключением вида «В и В₂» на две подтеоремы с заключениями «В » и «В₂» (Э. И. Айвазян).

      При поиске доказательства математических утверждений необходимо:

      1) Вспомнить  и применить теорему  (или другое истинное утверждение),  которая непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

      2) Сделать попытку расчленить данное  утверждение на ряд более простых  утверждений, последовательное доказательство которых может привести к доказательству.

      3) Вспомнить утверждение, аналогичное  данному. Воспользоваться способом его доказательства.

      4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величии, то одну из них или обе заменить равносильными им величинами и доказывать равенство последних.

      5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному .

        Исходным моментом в обучении  учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах. На это указывается во многих исследованиях, авторы которых предлагают и различные средства осуществления этой цели.

      Потребность служит источником активности, проявлением  которой являются мотивы. Следовательно, формирование потребностей учащихся в логических обоснованиях обусловливает развитие мотивов к соответствующей деятельности. Средства формирования потребностей выступают в качестве мотивации введения доказательств. Вообще говоря, изучение любой теоремы предполагает мотивацию ее введения.

      Доказательства  трудны для учащихся. Сознательное усвоение доказательств обусловлено  пониманием их целей и назначения, возбуждением и укреплением у  учащихся потребности в доказательстве. Выделим основные положения воспитания потребности в доказательстве:

      1. Возбуждение и последующее развитие  потребности в доказательстве должно опираться: с одной стороны - на постепенное осознание учащимися ограниченности, неточности и недостаточности знаний, основанных на изучении отдельных частных случаев, на данных опыта, наблюдения и измерения; с другой - на понимание общности, точности и объективности доказательства как тех его ценных качеств, благодаря которым оно становится средством более точного, более глубокого познания действительности, средством, помогающим  приобрести уверенность в общности и истинности знаний.

      2. Первоначально перед, учащимися  должны  быть поставлены две  цели доказательств: задача убеждения  в справедливости теоремы и  задача ее обоснования (объяснения). В старших классах эти цели становятся неразличимыми.

      Концепция обучения доказательству определяется не только содержанием понятия «доказательство», но и целями, которые выдвигаются  в связи с рассмотрением доказательств. Несомненно и то, что ее формирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидна зависимость обучения доказательству от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения. Формирование концепции обучения доказательству должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.      

         Вопрос о сущности математического доказательства изучался  в работах И.И. Баврина, B.Г. Болтянского, Ф.Н. Гоноболнна, И.С. Градштейна. В.А. Далингера, Я.С. Ду6нова, И.В. Игошина, С.к. Клини, Ю.м. Колягина, Л. И. Креера, И. Лакатоса, В.Л. Матросова, А.И. Мостовой, В.А. Оганесяна, М.И.Орленко, Ф.Ф. Притуло, А Л Савина, А.А. Столяра, А.И. Фетисова, Г. Фройденталя и др.

      В этих работах доказательство рассматривается 

      - как мыслительный процесс обоснования какого-либо суждения (Ф.Ф. Притуло), [17]

           - как логическая форма мышления (А.И. Мостовой)

           - как цепь логических суждений (М.И. Орленко),

           - как конечная последовательность предложений математической теории (А.А. Столяр),[21]

           - как система умозаключений, при помощи которой устанавливается истинность какого-нибудь предложения ( А. И. Фетисов)

               Доказательства представляют собой цепочки умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок (исходных для данного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным) тезисам. Истинность посылок не должна обосновываться в самом доказательстве, а должна каким-либо образом устанавливаться заранее. В этом заключается логический смысл доказательства. Доказательство выступает не только борением разных логик, но и борением эвристик, что обусловливает широкий поиск различных способов доказательства, их оценку. Посредством доказательства устанавливается истинность данного суждения.    

            Доказательство включает в себя три основных элемента:

                 1) Тезис, установить истинность которого - главная цель доказательства. Форма выражения тезиса - суждение.