Використання дослідницьких завдань в навчанні математики

Міністерство освіти та науки, молоді та спорту України

Сумський державний  педагогічний університет ім. А.С.Макаренка

Кафедра математики

Почерніна Ірина  Анатоліївна

ДИПЛОМНА РОБОТА

ВИКОРИСТАННЯ ДОСЛІДНИЦЬКИХ  ЗАВДАНЬ 

В НАВЧАННІ МАТЕМАТИКИ

Напрям підготовки 0402 Фізико-математичні науки

Спеціальність 7.04020101 Математика *

Освітньо-кваліфікаційний  рівень «Спеціаліст»

Науковий керівник – 

кандидат педагогічних наук,

доцент 

Семеніхіна Олена Володимирівна

Суми – 2012

ЗМІСТ

ВСТУП

Актуальність  теми. Всебічний розвиток дитини є одним з найголовніших питань, які сьогодні стоять перед школою. Школа повинна сформувати систему універсальних знань, умінь і навичок, а також досвід самостійної діяльності й особистої відповідальності,  які будуть необхідні для адаптації школяра до нових суспільних умов та повноцінної його самореалізації.

Саме тому на перший план шкільної математичної освіти сьогодні виступають питання поліпшення її якості, виявлення та розвитку здібностей учнів, максимального задоволення їхніх  інтересів та потреб, розвитку навчально-пізнавальної активності та творчої самостійності. Навколо учнів повинна бути створена сприятлива атмосфера, що мотивуватиме їх до самостійної навчальної діяльності.

Основним із домінуючих видів математичної діяльності учнів  є розв’язування задач, яке передбачає формування внутрішньої мотивації та інтересу до навчальної діяльності, ілюстрацію і своєрідну конкретизацію навчального матеріалу, формування в учнів спеціальних умінь і навичок, здійснення контролю і оцінки результатів навчальної діяльності, формування загальних математичних умінь. Тому саме в процесі організованого розв’язування задач можна розвинути різні якості молодої особистості.

Зокрема, це стосується розв’язування  дослідницьких задач – задач, які охоплюють клас завдань математичного змісту, не мають визначеного способу розв'язування і передбачають виконання попереднього аналізу числових даних умови, моделювання за сюжетною лінією, встановлення логіки зв'язків між даними та шуканими величинами, які не подаються безпосередньо. Такі задачі є невід’ємною складовою математичних конкурсів та турнірів, їх можна задавати учням для систематизації пройденого матеріалу та для розуміння нового. Дослідницькі задачі можна використовувати при вивченні будь-якої теми на уроці,  у позакласній роботі, при проведенні тижня математики, організації проектного навчання тощо.

Дослідницькі задачі корисні  тим, що не містять алгоритмічних  підходів і завжди потребують пошуків  нових ідей, які стимулюють пізнавальні  інтереси учнів, формують навички проведення аналізу, систематизації, висуванню гіпотез, допомагають оволодіти дедуктивним методом, активізують самостійну пошукову діяльність

Розвиток дослідницьких  умінь дає можливість засвоєння  методів дослідження і використання їх при вивченні матеріалів різних навчальних дисциплін, можливість застосування отриманих знань і умінь в реалізації власних інтересів, що сприяє подальшому самовизначенню учня; можливість розвитку інтересу до різних наук, шкільних дисциплін і процесів пізнання в цілому.

Об’єкт: процес навчання математики.

Предмет: використання дослідницьких завдань при навчанні математики.

Мета дослідження: визначити роль і місце дослідницьких завдань в навчанні математики, навести приклади та способи розв’язання дослідницьких завдань.

Мета дослідження зумовила розв’язання наступних завдань:

1. проаналізувати науково-методичну літератури з проблеми дослідження;
2. здійснити аналіз підручників, завдань ЗНО та ПДА на наявність дослідницьких завдань;
3. уточнити означення дослідницьких завдань та навести їх типологію;
4. визначити шляхи використання ІТ для підтримки розв’язування дослідницьких завдань.

Використані методи дослідження: теоретичні – системний аналіз наукової, навчально-методичної та математичної літератури з теми дослідження, розроблених електронних навчальних засобів;

емпіричні – спостереження  навчального процесу, систематизація та узагальнення педагогічного досвіду  вчителів математики, які використовують дослідницькі завдання в шкільній практиці та в позаурочній роботі.

Основні результати роботи були представлені на II Межвузівській науково-практичній конференції "Наукова діяльність як шлях формування компетентностей майбутнього фахівця" (грудень 2011), на звітній студентській науковій конференції (березень 2012) та у збірнику наукових статей студентів фізико-математичного факультету СумДПУ ім.А.С.Макаренка (випуск 6, 2012).

Практична значущість роботи полягає в підборі завдань, які  можна використовувати на уроках математики з різних тем, поданні  способів їх розв’язання в тому числі і з використанням ІТ.

Структура роботи. Робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатку.

У вступі обгрунтовано актуальність обраної теми, визначено об’єкт, предмет, мету дослідження, сформульовані  завдання дослідження.

В першому розділі розглянуто означення дослідницьких задач, переваги їх використання, проаналізовано підручники та завдання ЗНО на наявність завдань дослідницького характеру.

У другому розділі  розглянуто питання щодо розв’язування  дослідницьких завдань як невід’ємної  складової математичної підготовки. Розглянуті основні види дослідницьких завдань, наведено способи їх розв’язання, в тому числі і з використанням ІТ.

У додатку наведено матеріали  проекту учнів Рунгурської ЗОШ I-III ступенів «Теорема нареченої та її  застосування до розв’язування задач». Поданий план проекту, фрагменти презентації учителя та учнів.

Робота буде корисною студентам та вчителям, які цікавляться  використанням дослідницьких завдань  при навчанні математики, а також  при підготовці практичних занять та уроків з використанням дослідницької роботи.

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ДОСЛІДЖЕННЯ

1.1. Дослідницькі задачі та їх місце в курсі основної школи

1.1.1. Задача як об’єкт навчання  і засіб навчання

Розвиток інформаційного суспільства, науково-технічні перетворення, ринкові стосунки вимагають від кожної людини високого рівня професійних і ділових якостей, здатності орієнтуватися в складних ситуаціях, швидко і безпомилково приймати рішення.

У формуванні багатьох якостей, необхідних успішній сучасній людині, відіграє математика. На уроках математики школярі вчаться міркувати, доводити, знаходити раціональні шляхи виконання завдань, робити відповідні висновки. На думку М.В. Ломоносова: «Математика - найкоротша дорога до самостійного мислення» .

У навчанні математики велику роль відіграють задачі, оскільки вони є не тільки об’єктом вивчення, а і засобом навчання.

Математична задача –  це будь-яка вимога обчислити, побудувати, довести або дослідити, яка стосується просторових форм чи кількісних відношень, або запитання, рівносильне такій вимозі [3].

Розрізняють такі основні функції математичних задач – навчальна, розвивальна, виховна та контролююча. Навчальна функція полягає у формуванні в учнів системи математичних знань, умінь та навичок на різних етапах навчання. Розвивальна функція спрямована на розвиток мислення школярів, на формування в них розумових дій і прийомів розумової діяльності, просторових уявлень та уяви, алгоритмічного мислення, вміння «перекласти» задачу на мову математики тощо. Виховна функція задач спрямована на формування в учнів наукового світогляду, сприяє екологічному, економічному, естетичному вихованню, розвиває пізнавальний інтерес та позитивні риси особистості. Контролююча функція полягає у встановленні рівня навченості, рівня загального та математичного розвитку, стану засвоєння навчального матеріалу окремими учнями і класом загалом [14].

В залежності від того, яку вимогу поставлено в задачі, розрізняють  задачі на обчислення, доведення, побудову і дослідження.

Однією з найважливіших проблем шкільної математичної освіти є навчання учнів методів і способів розв’язування задач, самостійного пошуку розв’язку. Психологи, дидактики і методисти показали, що вміння школярів розв’язувати задачі прямо не залежить від кількості розв’язаних задач. Якщо навіть учень розв’язав багато задач, але в нього не сформований  загальний підхід до задачі, її аналізу, пошуку плану розв’язання, самостійно розв’язувати задачі він не зможе.

Ми погоджуємося з поглядами методистів стосовно того, що  процес розв’язування будь-якої задачі має складатися з наступних етапів [3].

1. Аналіз формулювання задачі, тобто відокремлення того, що в ній дано і що необхідно знайти, довести чи дослідити.
2. Пошук плану розв’язання.
3. Здійснення плану, перевірка і дослідження знайденого розв’язку, тобто доведення того, що знайдений розв’язок задовольняє вимоги задачі.
4. Аналіз знайденого способу розв’язання з метою з’ясування його раціональності, можливості розв’язування  задачі іншим методом чи способом.

У процесі пошуку способу  розв’язання багатьох задач використовують синтетичний, аналітичний та аналітико-синтетичний методи розв’язування задач. Під час розв’язування задач здійснюється як алгоритмічна, так і евристична діяльність. Значна кількість шкільних задач виконується за певними алгоритмами. Опанування учнями цих алгоритмів є важливим завданням шкільної математики. Разом з цим розв’язування нестандартних задач не завжди зводиться до виконання відомих опорних задач, які розв’язуються за певними алгоритмами, і вимагає додаткового пошуку (інформації, методу, прийому тощо). Тому розв’язувати задачі лише алгоритмічного характеру не доцільно, що приводить до необхідності використання в навчальному процесі задач іншого типу, серед яких виділяють дослідницькі задачі.

1.1.2. Дослідницька задача та етапи її розв’язування

Дослідницька задача – це будь-яка нестандартна задача, при пред’явленні якої учні не знають наперед ні способу її розв’язання, ні того, на який навчальний матеріал опирається розв’язання. Учні в ході розв’язання таких задач повинні провести пошук плану розв’язання задачі, встановити, який теоретичний матеріал дає ключ до того або іншого розв’язання [10].

При розв’язуванні дослідницької задачі найприйнятнішими є такі етапи дослідження [13]:

1) мотиваційна діяльність;

2) постановка проблеми;

3) збір та аналіз фактичного матеріалу;

4) висунення гіпотези;

5) перевірка гіпотези;

6) обгрунтування істинності гіпотези, висновок;

Мотивація - дуже важливий етап процесу навчання, якщо ми хочемо, щоб навчання було результативним. Метою мотивації є створення умов для виникнення в учня питання або проблеми.

Етап формулювання проблеми - найтонший і «творчий» компонент розумового процесу. У ідеалі сформулювати проблему повинен сам учень після постановки і розв’язання мотивуючої задачі. Проте в реальній шкільній практиці таке трапляється далеко не завжди: для дуже багатьох школярів самостійне визначення проблеми утруднене; пропоновані ними формулювання можуть виявитися неправильними. Тому на цьому етапі необхідний контроль з боку вчителя.

Збір фактичного матеріалу може здійснюватися при вивченні відповідної навчальної або спеціальної літератури або за допомогою проведення випробувань, всіляких тестів, вимірів певних параметрів тощо. Випробування не мають бути хаотичними, позбавленими логіки. Необхідно їх аргументувати за допомогою пояснень, креслень тощо. Число випробувань має бути достатнім для здобуття необхідного фактичного матеріалу.

Систематизацію і аналіз отриманого матеріалу зручно здійснювати за допомогою таблиць, схем чи графіків - вони дозволяють візуально визначити необхідні зв'язки, властивості, співвідношення, закономірності.

Висунення гіпотез передбачає вміння сформувати і зафіксувати гіпотезу на математичній мові, точно і лаконічно.

Перевірка гіпотез дозволяє впевнитися або засумніватися в їх істинності, а також може внести зміни до їх формулювань. Найчастіше перевірку гіпотез доцільно здійснювати за допомогою проведення ще одного випробування. При цьому результат нового випробування зіставляється з раніше отриманим результатом. Якщо результати збігаються, то гіпотеза підтверджується, і вірогідність її істинності зростає. Розбіжність же результатів служить підставою для відхилення гіпотези або уточнення умов її справедливості.

На останньому етапі  відбувається доведення істинності гіпотез, які отримали підтвердження; помилковість їх може бути визначена за допомогою контрприкладів. Пошук необхідних доведень часто утруднений, тому вчителеві важливо передбачити підказки.

1.1.3. Умови формування дослідницьких  умінь

Відзначимо умови, які  уточнено Л.В.Ляховою для формування дослідницьких умінь школярів.

1. Мотивованість.

Необхідно допомагати учням  побачити значення їх дослідницької  діяльності, побачити в цьому можливість реалізації власних талантів і можливостей.

2. Цілеспрямованість  і систематичність.

Робота з розвитку дослідницьких умінь повинна проходити в урочній і позаурочній діяльності. Вчитель має використовувати матеріал уроків різних предметів з метою формування умінь дослідницької діяльності, постійно використовувати дослідницький метод у викладанні тем.

3. Творче середовище.

Вчитель повинен сприяти  створенню творчої атмосфери, підтримувати інтерес до дослідницької роботи.

4. Психологічний комфорт.

Одна із задач вчителя  – заохочувати творчі прояви учня, прагнення до творчого пошуку. Важливо, щоб вони не боялися допустити помилку, утримуватися від негативних оцінок. Кожному учню необхідно дати можливість відчути власні сили, повірити в себе.

5. Особа педагога.

Розвиток творчих здібностей, до яких відносяться і дослідницькі, можливий у творчо працюючого вчителя, який прагне створити відповідну робочу атмосферу і який володіє певними знаннями і підготовкою для ведення занять з дослідницької діяльності.

6. Враховування вікових  особливостей.

Навчання дослідницьким  умінням повинне здійснюватися  на доступному для дитячого сприйняття рівні, тобто дослідження має бути посильним, цікавим і корисним.

1.1.4. Переваги використання дослідницьких  задач в навчання математики

На уроках учні повинні  вчитися розв’язувати різні задачі, тим самим вони краще усвідомлюють зміст вивченої теорії, розвивають розумові здібності, уміння формулювати проблему та знаходити її розв’язання

Ознайомлення учнів  лише зі спеціальними способами розв’язання  окремих типів задач створює  небезпеку того, що учні обмежуються  засвоєнням одних шаблонних прийомів і не вироблять уміння самостійно розв’язувати незнайомі задачі. У системі задач шкільного курсу математики, безумовно, необхідні задачі, спрямовані на закріплення певної математичної навички, ілюстровані задачі, тренувальні вправи, які виконуються за зразком тощо, але слід звернути увагу також на те, що під час розв’язання дослідницьких задач учні оволодівають новими методами та прийомами, мають можливість засвоювати нові математичні факти, які вони зможуть застосувати під час розв’язання інших задач.

Головна мета вчителя  – це не кількість задач, розв’язаних  з учнями, а формування в них  розумових дій та конструктивних умінь; оволодіння загальними підходами  щодо пошуку способів розв’язання  запропонованих задач

Дослідницькі задачі корисні  тим, що не містять алгоритмічних підходів і завжди потребують пошуків нових ідей, які стимулюють пізнавальні інтереси учнів, формують навички проведення аналізу, систематизації, висуванню гіпотез, допомагають оволодіти дедуктивним методом, активізують самостійну пошукову діяльність.

Часто трапляються випадки, що вчителі рідко застосовують можливість розв’язання тих або інших дослідницьких задач декількома способами, аргументуючи це відсутністю достатньої кількості часу на уроці. Ми вважаємо, що для математичного розвитку учнів більш корисними буде дослідження різних способів розв’язань однієї задачі декількома способами, ніж розв’язання низки однотипних задач однаковим способом. Переваги такої роботи виявляються в наступному:

– при знаходженні  різних способів розв’язання учні актуалізують знання з різних розділів математики, а це сприяє більш міцному і усвідомленому засвоєнню учнями матеріалу;

– учні порівнюють і узагальнюють знайдені розв’язання;

– учні можуть бачити переваги того або іншого способу розв’язання, вчаться вибирати серед них найраціональніші або «красиві» шляхи розв’язання;

– кожний знайдений спосіб розв’язання задачі збільшує обсяг  застосованого матеріалу.

Відзначимо, що розв’язання  дослідницьких задач декількома способами має позитивні аспекти, а саме:

– сприяє розвитку в учнів  прийомів логічного пошуку розв’язання, самостійності в пошуках;

– надає можливості щодо формування та розвитку у школярів уміння здійснювати самоконтроль;

– зумовлює індивідуалізацію навчальної роботи з учнями та диференціацію навчального процесу з урахуванням актуальних та потенційних математичних здібностей школярів [10].

Розвиток дослідницьких  умінь дає:

• можливість засвоєння методів дослідження і використовування їх при вивченні матеріалів будь-яких дисциплін;
• можливість застосування отриманих знань і умінь в реалізації власних інтересів, що сприяє подальшому самовизначенню учня;
• можливість розвитку інтересу до різних наук, шкільних дисциплін і процесів пізнання в цілому.

Іншими словами, дослідницька діяльність, сприяє виробленню наступних знань і умінь:

• самостійно пояснювати і доводити нові факти, явища закономірності;
• класифікувати, порівнювати, аналізувати і узагальнювати раніше вивчені явища, закономірності;
• проводити експерименти, висувати і обгрунтовувати гіпотези;
• встановлювати причинно-наслідкові зв'язки і відношення;
• розглядати одні і ті ж факти, явища, закономірності під новою точкою зору;
• застосовувати наукові методи дослідження (теоретичного аналізу і синтезу, експериментального, моделювання
• знаходити декілька варіантів розв’язання, обирати і обгрунтовувати найраціональніший;
• рецензувати і оцінювати власну роботу дослідницького характеру, а також роботи товаришів тощо [8].

1.2. Аналіз діючих підручників на предмет дослідження

Важливість розв’язування  дослідницьких задач очевидна, але ні в якому шкільному підручнику немає спеціального розділу чи теми,  присвячених цим задачам. Вони є, причому в різній кількості, в окремих темах підручників.

Так, в підручнику алгебри та початків аналізу авторів Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. для 10 класу [17] дослідницьким завданням , на нашу думку, приділяється недостатня увага. Подані лише завдання, які вимагають зробити більше кроків для розв’язання, але вони є алгоритмічними, і схожі за розв’язанням до задач, наведених в теоретичній частині.

При вивченні теми «Тригонометричні функції» є невелика кількість дослідницьких завдань. Деякі з них приводяться з розв’язком. Наприклад, дослідити характер зміни і при зростанні числа від 0 до .

До теми «Степенева функція» авторами пропонуються дослідницькі завдання з параметром: довести, що

В підручнику цих же авторів  для 11 класу при вивченні теми «Границя та неперервність функцій» дослідницькі завдання подаються розібраними в теоретичному матеріалі. Наприклад, довести, що послідовність із загальним членом не має границі. Але дослідницьких завдань для самостійного розв’язування  не пропонується. В темі «Первісна та її застосування» наводяться приклади дослідницьких завдань, зокрема, обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з циліндричної цистерни, радіус якої  R, а висота  H.

Аналіз підручника з алгебри та початків аналізу авторів Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. для 10 класу академ. рівня за 2010 рік [9] показав, що в ньому кількість дослідницьких задач набагато більша, ніж в попередньому підручнику.

Так, при вивченні теми «Функція» пропонується більше завдань з параметром і прикладних задач. Наприклад, при якому значенні b функція зростає на множині ; яку найбільшу площу може мати ділянка прямокутної форми, обгорожена парканом довжиною 200 м; доведіть, що значення виразу є числом раціональним.

В підручнику з алгебри і початків аналізу авторів Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. для 11 класу, поглиблений рівень за 2003 рік [18] зустрічаються дослідницькі задачі прикладного характеру, зокрема, доведіть, що площа трикутника з вершинами в точках , , визначається формулою .

Проведений аналіз діючих підручників  на наявність в них дослідницьких  завдань виявив різну їх кількість в усіх підручниках. Більш детальна інформація аналізу за темами наведена в таблицях 1.1. і 1.2.

Таблиця 1.1.

Таблиця 1.2.

Таким чином, аналіз підручників підтвердив тезу про те, що в навчальному математичному матеріалі пропонується невелика кількість дослідницьких завдань, що, в свою чергу, не сприяє розвитку в учнів дослідницьких вмінь, творчого і не шаблонного мислення.

1.3. Аналіз завдань ЗНО останніх років на предмет дослідження

Останім часом система освіти України зазнає суттєвих змін. Одним з основних напрямів її реформування є створення системи зовнішнього єдиного тестування, яке покликане забезпечити моніторинг якості освіти, отримати достовірні і співставні дані про рівень навчання в школах.

Зовнішнє незалежне  оцінювання — комплекс організаційних процедур (передусім — тестування), спрямований на визначення рівня навчальних досягнень випускників середніх навчальних закладів при їхньому вступі до вищих навчальних закладів. Однією з основних цілей проведення ЗНО є аналіз стану системи освіти та рівня набутих учнями математичних знань.

Розглянемо завдання ЗНО з математики за 2009, 2010 та 2011 роки на предмет наявності в них завдань дослідницького характеру.

ЗНО з математики за 2009 рік [21].

Задача. У сонячний день довжина тіні від дерева становить 16 м. У той самий час тінь від хлопчика, який має зріст 1,5 м, дорівнює 2 м (див. рисунок). Визначте висоту дерева.

Рис. 1.2

У більшості учнів  виникають проблеми зі складанням математичної моделі даної задачі. Для розв’язання цього завдання потрібно розглянути подібність трикутників, скласти відповідну пропорцію і знайти невідому величину. Ця задача ще є корисна тим, що має прикладний характер, що в свою чергу є одним зі способів мотивації учнів до навчання.

ЗНО з математики за 2010 рік [21].

Задача. У саду ростуть 60 дерев: 28 яблунь, 20 вишень і 12 абрикос. На одній із діаграм правильно зображено розподіл дерев у саду. Укажіть цю діаграму.

Рис. 1.3

В цьому випадку учням  досить складно співставити  кількість дерев у відсотковому відношенні та частин круга. 100% - це всі дерева (на діаграмі весь круг), 50% - це половина або 30 дерев (на діаграмі половина круга). Яблуні (28 дерев) займають близько 50%, тобто це діаграми «Г» або «Д», оскільки яблуні на цих діаграмах займають майже півкруга. Проте діаграма «Г» не може бути відповіддю, оскільки на ній абрикосів більше, ніж вишень, що суперечить умові. Отже, діаграма «Д» - це правильна відповідь.

ЗНО з математики за 2011 рік [21].

Задача. На одиничному колі зображено точку Р(-0,8; 0,6) і кут α. Визначте cosα.