Абсолютные и относительные статистические величины

2.1 Тема «Абсолютные и относительные статистические величины»

Задача 1. Определить общее производство моющих средств в условных тоннах (условная жирность 40%) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по данным, представленным в таблице 1.

Решение:

Исчислим коэффициенты перевода. Если условной единицей измерения является мыло 40%-ной жирности, то это значение принимается равным единице. Тогда коэффициенты перевода в условное мыло исчислим так: мыло хозяйственное 60%-ной жирности: 60 : 40 = 1,5; мыло туалетное 80%-ной жирности: 80 : 40 = 2,0; стиральный порошок 10%-ной жирности: 10 : 40 = 0,25.

Общий объем производства мыла и моющих средств в 40%-ном исчислении составил по плану 4000 кг. и фактически 13900кг.

2.2 Тема «Средние величины и показатели вариации»

Задача 4.  По имеющимся в таблице 6 данным по группе из 20 студентов необходимо:

- построить  интервальный ряд распределения признака и его график.

- рассчитать модальное, медиальное  и среднее значение,  установить его типичность с помощи коэффициентов вариации.

Таблица 6 – Исходные данные

Решение:

1.      Исходная совокупность состоит из 20 единиц (N = 20).

2.      По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg20=5

3.      Вычислим величину равного интервала: i=(128-92) /5 = 7,2

4.      Расчленим исходную совокупность на 5 групп с величиной интервала в 7,2

5.      Результаты группировки представим в таблице:

1-я группа

Простая средняя арифметическая (невзвешенная)

Средний IQ тест равен 107,4

Наряду с расчетом средней арифметической и средней гармонической для вариационных рядов распределения исчисляют структурные средние - моду, медиану.

Мода - это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую частоту.

Медианой называется значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда и делит ряд пополам.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле

где хМо - минимальная граница модального интервала;

 - величина модального интервала;

 - частота модального интервала;

 - частота интервала, предшествующего модальному;

частота интервала, следующего за модальным.

Медиана для интервального ряда распределения рассчитывается по формуле

где - нижняя граница медианного интервала;

 - величина медианного интервала;

 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному;

 - частота медианного интервала.

Для характеристики структуры вариационного ряда дополнительно к медиане исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на четыре равные части, квинтели - на пять равных частей, децили - на десять равных частей и перцентили - на сто равных частей.

Показатели вариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака. Одновременно по размеру показателя вариации делают вывод о типичности, надежности средней величины, найденной для данной совокупности, и об однородности самой совокупности.

Важнейшие виды показателей вариации:

1) размах вариации [R]

 R = xmax – xmin

R=128-92=36

2) среднее линейное отклонение []

3) дисперсия [σ2]

4) среднее квадратическое отклонение [σ]

5) коэффициент вариации [v]

2.3 Тема «Выборочное наблюдение»

Для изучения вкладов населения в коммерческом банке города  была произведена 5%  случайная выборка лицевых счетов, в результате которой получено следующее распределение клиентов по размеру вкладов (таблица 7)

С вероятностью 0.954 определить:

- средний размер вклада во всем банке;

- долю вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 1500 у.е.;

- необходимую численность выборки при определении среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е.;

- необходимую численность выборки при определении доли вклада во всем банке с размером вклада свыше 30 000у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10%.

Решение:

Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и найдем середины интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице 2.1:

Таблица 2.1

1) Найдем средний размер вклада по формуле средней арифметической взвешенной:

2) Найдем размах вариации

Н = Хmax – Хmin = 50000 – 2500 = 47500 тыс.руб.

Подставив в формулу известные значения, получим дисперсию

              Находим коэффициент вариации

или 77.9%

3) Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так при вероятности p=0,954 коэффициент доверия t=2. Поскольку дана 5%-ная случайная бесповторная выборка, то =0,05, где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности. Считаем также, что дисперсия D=86445535620. Тогда предельная ошибка выборочной средней равна

Определим теперь возможные пределы, в которых ожидается средний размер вклада для всех вкладчиков коммерческого банка

19357-29900 19357 + 29900

4) Выборочная доля вкладчиков банка с размером вклада свыше 30 000 руб. равна

Учитывая, что при вероятности p=0,954 коэффициент доверия t=2, вычислим предельную ошибку выборочной доли

Возможные пределы, в которых ожидается доля вкладчиков с размером вклада свыше 40 000 руб.

                   w -w +

0,157 – 0,036 0,157 + 0,036

            0,121 0,193

Выводы:

Величина рассчитанного нами коэффициента вариации свидетельствует о том, что колебание размеров вкладов высокая, т.е. v ≥33%.  Поэтому совокупность считаем неоднородной, а её среднюю – ненадёжной.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля вкладчиков с размером вклада свыше 30 000 руб., находится в переделах от 12.1% до 19.3% от всех вкладчиков банка.

2.4 «Ряды динамики»

По статистическим данным по России за 2000-2005гг., представленным в таблице, вычислить абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным, цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитывается интервальный прогноз на 2006г. с вероятностью 95%.

Таблица – Исходные данные

Решение:

1) Абсолютный прирост (Δy) – это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным - 2000 г.):

Δyiц = yi – yi-1 – цепной,

Δyiб = yi – y0 – базисный

Темп роста (Т) – относительный показатель, характеризующий интенсивность развития явления.

Темп прироста (ΔТ) определяется как отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню:

Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному):

Все получившиеся значения занесем в таблицу .