Анализ терминального члена

    Пример  в компании рассматривается вопрос о сумме инвестиций и сумме необходимых займов в наступающем году. Компания осуществляет только один проект, Сделаем также следующие допущения.

    1. Имеющиеся инвестиционные возможности компании не превышают B -1 млн дол. Инвестиции принесут постоянные потоки денежных средств (после уплаты налогов). Пусть ожидаемая величина этих потоков равна С. Тогда С = 0,09х и внутренняя норма доходности проекта равна  -9%.

    2. Рыночная норма капитализации  доходов составляет r = 10%. Значит. если компания использует только собственные источники финансирования проекта, связанные с ним активы создадут чистую приведенную стоимость, равную -0,10 дол. на каждый вложенный доллар

     ( - х  +0,09 х/ 0,10 = -0,1х).

    3.   Политика компании такова, что новые займы не должны превышать 40% новых инвестиций.

    4.   У компании имеется 800 000 дол.  денежных средств.

    5.   Избыточные денежные средства  выплачиваются в виде дивидендов.

    6. Ожидается, что поступления заемных  и собственных средств для  финансирования проекта будут происходить постоянно.

    В целях упрощения мы начнем с формулы  оценки стоимости фирмы Модильяни-Миллера. Если компания ничего не предпринимает  (х и у равны) тогда ее стоимость(v ) (ф. 3.19) равна:

    V= V₀+ Т₀D

    где: T — предельная ставка налога на прибыль (0,5 в данном примере);

    Величина Т₀D  представляет собой приведенную стоимость всех налоговых щитов, возникающих в связи с привлечением заемного капитала, при условии, что займы используются постоянно.

    В нашем примере:

    V = V₀+0,5D-0,1x + 0,5y.

    Величины v₀  и D постоянны, а следовательно, не зависят от выбора значений х и у. Значит, мы можем найти максимальное решение выражения -(- 0,1х: + 0,5у), в котором предусмотрены ограничения на сумму инвестиций, (х ≤ 1) и на сумму займов (у ≤ 0,4х), а соотношение источников и использования капитала выглядит как (х ≤ у + 0,8).

    Решение.

    Математическая  модель задачи следующая:

    Целевая функция:

    Ограничения:

    Это - задача линейного программирования. Её можно решать графически, т.к. в задаче две переменные. Строим область допустимых решений, ограниченную первой четвертью (x,y - неотрицательны) и тремя прямыми. 

    Рис. 3.1. Графическое решение оптимизационной  задачи 

      Эта зона расположена левее прямой х = 1, так как инвестиционные возможности компании ограничены 1 млн. дол. Она расположена также выше кривой х = 0.8 + у, так как инвестиции ограничены имеющимися денежными средствами (800 тыс. дол.) и дополнительными займами.  Эта зона размещается под кривой у = 0.4.x, поскольку новые заемные средства ограничены суммой 40% инвестиций.

    Далее строим вектор-градиент целевой функции  с координатами (-0.1; 0,5), который указывает направление наискорейшего роста оценки стоимости компании (жирная стрелка на рис.3.1) и перпендикулярную ему линию уровня -0.1x+0.5y=const (пунктирная линия на рис.3.1). Передвигаем линию уровня в направлении вектор-градиента до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Координаты точки выхода и будут являться оптимальным решением задачи. В данном случает решение – это точка А(1;0.4). Целевая функция достигнет в этой точке своего максимума V_max = V(1; 0.4) = 0.1 млн $, с учетом имеющихся ограничений.

    Эту же задачу удобно решать с использованием встроенной функции Поиск решения в таблицах MS Excel. Этот способ является предпочтительным по сравнению с графическим, т.к. исключаются ошибки, связанные с неточностью построения, быстро находится решение, нет ограничений на количество переменных, можно менять условия задачи, анализировать чувствительность решения к изменениям некоторых параметров задачи и т. п.

    Для решения задач оптимизации в  MS Excel используют надстройку Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Данные» (рис. 3.2).  

    Рис. 3.2. 

    Рассмотрим использование данной надстройки на рассматриваемом примере.

      Составим шаблон в редакторе Excel, как показано на рис. 3.3. 

    Рис. 3.3.  Шаблон оформления задачи

    Заносим числовую информацию из условия задачи (рис. 3.4). 

    Рис. 3.4.  Исходные данные задачи 

          В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых  частей неравенств) необходимо занести  формулы, отображающие связи и отношения между числами на рабочем листе.

          Ячейки B3 – С3 называются в Excel изменяемыми (в нашей модели это неизвестные переменные), т.е., изменяя их Поиск решения будет находить оптимальное значение целевой функции. Значения, которые первоначально вводят в эти ячейки, обычно нули (незаполненные клетки трактуются по умолчанию как содержащие нулевые значения).

    Теперь  необходимо ввести формулы. В MS Excel существует функция СУММПРОИЗВ, которая позволяет найти скалярное произведение векторов. В ячейку Е3 необходимо вызвать  данную функцию, а в качестве перемножаемых векторов задать адреса ячеек, содержащих коэффициенты уравнений (в данном случае, это В4:С4) и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения искомых переменных (ячейки В3:С3) (рис. 3.5). 

    Рис. 3.5.  Вызов функции СУММПРОИЗВ 

    Рис. 3.6. 

          В ячейке, отведенной для  формулы левой части первого  ограничения (D8), вызовем функцию СУММПРОИЗВ. В качестве адресов перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов В8:С8 и адрес значений переменных В3:С3 (рис. 3.6).

          Используя кнопку F4, зафиксируем ячейки с искомыми переменными, что бы при копировании этой функции в две оставшиеся ячейки графы «Левая часть» получить аналогичные формулы.

    Важно! К моменту вызова сервиса Поиск решения на рабочем листе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.

    Далее в меню Сервис выбираем  функцию  Поиск решения. В появившемся окне задаём следующую информацию:

1. в качестве  целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции Е3;
2. «флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», т.к. в данном случае, оценка стоимости фирмы подлежит максимизации;
3. в качестве изменяемых ячеек заносится адреса ячеек значений переменных В3:С3;
4. справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения (рис. 3.7)

      если все ограничения одного  знака, то их можно занести  одной записью: в левой части  формы «Ссылка на ячейку» заносится адреса формул для левых частей ограничений D8:D10, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае, <=), в поле «Ограничение» заносятся ссылки на правую часть ограничений  F8:F10 (рис. 3.8). Нажимается кнопка «ОК». 

    Рис. 3.8. Занесение ограничений задачи

5. В разделе Параметры поставить флажок напротив Линейная модель и Неотрицательные значения.

          Таким образом, окно Поиск решения с занесенной информацией выглядит следующим образом (рис.3.9): 

    Рис.3.9. 

    Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после  чего появляется окно результата решения (рис.3.10). 

    Рис.3.10. Окно результата решения 

          Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В результате получено решение рассматриваемой задачи. (рис.3.11). 

    Рис. 3.11. Результат применения Поиска решения 

          Если в результате решения  задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения (рис.3.12), это означает, что или при  оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок» максимизации/минимизации и т.д.) или об отсутствии решения оптимизационной задачи. 

    Рис.3.12. Сообщение об ошибке 

    Итак, компанию не привлекает данная инвестиция, так как ее чистая приведенная стоимость отрицательна и равна -0,1 дол. на каждый вложенный доллар. Однако компания стремится получить заем, и для этого она все же вынуждена осуществлять проект. Таким образом, стоимость компании достигает максимума при х = 1, у = 0,4. Компания инвестирует капитал и получает в долг столько, сколько может.

    Однако  заметим, что ограничение х ≤ 0,8 +у не связано с оптимальным решением. Компания получает заемных средств на 200 000 дол. больше, чем ей необходимо для инвестиций (из третьего ограничения y = x-0.8 = 1-0.8 = 0.2, а по решению y = 0.4, следовательно, на 0.2 млн. $ больше). Поэтому у нее имеется 200 000 дол. для распределения в виде дивидендов.

    В этом примере фирма в лучшем случае может инвестировать 1 млн дол. и взять заем в размере 40% от  новых инвестиций. Источниками новых инвестиций должны служить имеющиеся денежные средства (0,8 млн дол.) или новые займы. Эти инвестиции сами по себе не являются привлекательными, (чистая приведенная стоимость равна  -0,1х дол.), однако фирма захочет их осуществить ради привлечения заемного капитала, поскольку налоговый щит, создаваемый вследствие этого займа, перекрывает чистый убыток приведенной стоимости новых инвестиций.

    Почему  оптимальное решение в данном случае требует осуществления проекта с отрицательной чистой приведенной стоимостью? Причина заключается в том, что внедрение проекта позволяет компании получить дополнительные заемные средства, и экономия на налоге на прибыль, возникающая вследствие выплаты процентов по долгу, превышает низкую отдачу самого проекта. (На самом деле оптимальное решение по-прежнему будет состоять в х = 1 и у = 0,4, пока проект приносит более чем —0,20 дол. на каждый инвестированный доллар. Если проект дает меньше, например, —0,30 дол., тогда решение равно х = у = 0.) Таким образом, ограничения кредитоемкости делают инвестиционные решения и решения по финансированию взаимозависимыми. И поэтому взаимозависимость между инвестиционными решениями и решениями по финансированию специально не вводилась.

    Отслеживать, какие произойдут изменения решения с изменением значений коэффициентов целевой функции удобно, если использовать результаты отчета по устойчивости. Что бы получить его необходимо снова запустить Поиск решения и в окне с результатами поиска решения заказать отчет по устойчивости. (рис. 3.13) 

    Рис. 3.13. 

    Отчет будет выведен на новый лист и  будет содержать следующую информацию: (рис. 3.14) 

    Рис. 3.14. Отчет по устойчивости 

    По  первой таблице отчета видим, что  результ. значение: x=1, y=0,4. Нормированная стоимость – это значение, на которое понизится значение целевой функции, если принудительно полагать значение переменных (инвестиций (x) и займа (y)) не равными нулю. Но, поскольку их значения и так отличны от нуля, то нормир. стоимость равна нулю.

    Целевой коэффициент – это значение коэффициентов целевой функции из условия задачи. Допустимое увеличение и допустимое уменьшение – эти величины показывают, в каком диапазоне могут изменяться значения целевых коэффициентов, от чего оптимальное решение не измениться. Т.е., если чистая приведенная стоимость проекта уменьшиться до -0,2x или увеличиться на любое число (до бесконечности), то оптимальное решение x = 1, y = 0,4 не измениться. Аналогичные выводы можно сделать и относительно «налогового щита»: если ставка налога уменьшится до 0,25 или увеличиться на любое число, то оптимальное решение так же не измениться. Содержание второй таблице обсудим ниже.

    Влияние дивидендной политики. В приведенном примере ограничения на источники и использование ресурсов не увязаны между собой. Однако, что произойдет, если они окажутся взаимосвязаны? Что, если у компании будет,  только 500 000 дол.?

    Изменяем  коэффициент правой части в третьем  ограничении задачи: х<=0.5+y, и находим новое решение с помощью Поиск решения.(рис. 3.15)  

    Рис. 3.15. 

    Оптимальное решение х = 5/6 , у=1/3, но значение целевой функции - оценка стоимости компании при этом решении принимает меньшее значение: V_max = V(5/6; 1/3) = 0.083 млн $.

    Однако  если учитывать политику дивидендов, тогда необходимо рассмотреть и возможность нового выпуска акций. Значит, ограничение на самом деле будет выглядеть так:

    x + DIV≤0,8+y+SI,

    где DIV— это выплаченные дивиденды и SI — это выпуски акций в млн дол. Если дивидендная политика не играет роли, тогда DIV и SI не оказывают  никакого влияния на целевую функцию. И ограничение само по себе не имеет значения. Оптимальное решение остается прежним х= 1 ,у = 0,4. Компания должна сделать дополнительный выпуск акций на сумму 100 000 дол., но уже  после того, как инвестиционные и финансовые решения приняты.

    Однако  в реальной практике возникнут еще  операционные издержки, связанные с  выпуском новых ценных бумаг. Эти затраты необходимо учесть в примере и вычесть из целевой функции, тогда ограничения на источники и использование ресурсов станут взаимоувязанными и соотносимыми. Решения для х и у будут действительно иными, если операционные издержки достаточно велики.

    Таким образом, ограничения на источники  и использование капитала становятся существенными только в том случае, если появляются операционные издержки, связанные с выпуском в обращение ценных бумаг, либо влиянием дивидендной политики на поведение инвесторов или с какими то. другими причинами. 

    Расширение  модели

    Пример, который мы приводили, опирался только на две переменные. Поэтому мы можем расширить модель LONGER для усиления ее практической применимости за счет введения дополнительных переменных и ограничений.

    Одно из вероятных расширений – влияние дивидендной политики. Допустим, компания может платить дивиденды или выпускать новые обыкновенные  акции, но ее денежные средства ограничены суммой 0,5 млн дол. Тогда задача линейного программирования принимает следующий вид:

целевая функция: ограничения:

    Если  дивидендная политика не имеет значения, тогда коэффициенты a и b равны 0. Но на самом деле коэффициент b должен быть отрицателен, поскольку отражает операционные издержки по выпуску новых акций в обращение. А коэффициент а мог бы иметь положительное либо отрицательное значения или равняться 0 в зависимости от того, какую точку зрения по вопросу о дивидендной политике вы разделяете. Поскольку новая целевая функция отличается от прежней на экзогенную величину aDIV + bSI, то задача решается аналогично рассмотренному ранее случаю.

    Теперь предположим, что компания располагает еще одной возможностью инвестирования в проект, который требует 2 млн дол. и обеспечивает 0,12 дол чистой приведенной стоимости на каждый вложенный доллар. Однако динамика событий по проекту 2 менее предсказуема, чем по проекту 1, и поэтом компания планирует получить заем только на сумму 20% от объема инвестиций проекта 2.Тогда модель принимает следующий вид:

целевая функция: ограничения:

    Поскольку действует правило сложения приведенных стоимостей, то  можно включать в данную задачу сколько угодно проектов, не нарушая линейной формы ее целевой функции. Более того, вовсе не обязательно, чтобы все проекты, которые мы включим в задачу, имели одинаковую степень риска или одинаковый характер распределения во времени потоков денежных средств. Нет ничего плохого в строительстве здания одновременно с разработкой нефтяной скважины, если в обоих случаях чистая приведенная стоимость положительна.

    Если  мы введем в задачу проекты с нерегулярными потоками денежных средств, мы, естественно, должны считать, что объемы займов в разные периоды будут меняться. Допустим, что горизонт планирования у компании составляет 5 лет. Тогда мы можем заменить переменную у, которая показывает -заемный капитал, на ряд переменных у₁, у₂, y₃, y₄, у₅, где y_t - это совокупный плановый объем заемного капитала для года t . Это, в свою очередь, требует уточнить, что размеры дивидендов и выпусков акций также изменяются в разные периоды. Поэтому целевая функция примет вид: 

 Кроме того, нам потребуется ввести 12 ограничений: два из них ограничивают объемы инвестиций в каждый проект, пять описывают объемы заемных средств по периодам в соответствии с финансовым планом, и еще пять ограничений направлены на то, чтобы планируемое использование капиталов не превышало планируемых источников для каждого из периодов.

    Можно было бы ввести и другие ограничения. Например, финансовый менеджер хотел бы попытаться избежать снижения уровня дивидендов в плане. Но тогда понадобится еще пять ограничений:

    •    DIV₁ ≥ DIV ₀ (дивидендов в период 0)

    •    DIV₂≥ DIV₁,

    •    DIV₃≥ DIV₂

    •    DIV₄≥ DIV₃

    •    DIV₅ ≥ DIV₄.

    В некоторых компаниях устанавливаются  требования к росту прибыли, показанной в отчетности. Допустим, желаемый темп роста равен g. Тогда придется ввести еще пять ограничений, например, Z_t ≥ (1 + g)Z_t-1, где Z_t представляет прогнозные прибыли в году t. Переменная Z, будет определяться, исходя из других переменных, включенных в модель.

    Теневые цены, или предельные издержки.

    Решение любой задачи линейного программирования включает рассмотрение двойственных оценок - теневых цен, или предельных издержек, для каждого из введенных в модель ограничений. В примере, который рассматривался в начале, содержатся три ограничения, а значит, и три теневые цены. Их значения содержаться во второй таблице отчета по устойчивости (рис. 3.14)

     Таблица 3.1

    Характеристика  теневых цен (предельных издержек)

    Под теневыми ценами имеются в виду изменения  в целевой функции на единицу изменений в ограничениях (Теневые цена имеют значение лишь при условии предельных изменений в ограничениях, однако критерий отнесения данных сдвигов в ограничениях к предельным, меняется в зависимости от каждой конкретной проблемы). В нашем примере целевая функция состоит в увеличении чистой приведенной стоимости. Следовательно, теневая цена 0,1 предельной суммы инвестиций означает, что если бы компания могла вложить 1 000 001 дол. вместо 1 млн дол., чистая приведенная стоимость возросла бы на 10 центов. Теневая цена заемного капитала в 0,5 означает, что если бы компания могла получить кредит на сумму 400 001 дол. вместо 400 000 дол. при условии неизменности суммы инвестиций (1 млн. дол.), чистая приведенная стоимость возросла бы на 50 центов.

    Ограничения на денежные средства, имеющиеся в  распоряжении компании, не связаны с оптимальным решением. Компания получает на 200000 дол. больше заемного капитала, чем ей необходимо, и поэтому теневая цена этого ограничения равна нулю. Иначе говоря, избыточные денежные средства, полученные компанией, будут иметь чистую приведенную стоимость, равную нулю.

    Теневые цены инвестиционных ограничений особенно интересны, так как именно они  показывают предельный вклад проекта в величину рыночной стоимости компании, когда учтены все побочные последствия выбранных способов финансирования проекта.

3.4 Свертка критериев оптимальности

    В тех случаях, когда невозможно отдать предпочтение какому-либо одному критерию, используется процедуру свертки критериев эффективности в один глобальный критерий эффективности. Свертка позволяет свести поиск оптимального инвестиционного решения по вектору критериев эффективности к процедуре поиска экстремума по одному критерию. Кроме того, свертка критериев проводится для оптимизации структуры портфеля инвестиционных проектов.

    Для сравнения альтернативных проектов применяется свертка критериев  следующего вида:

                                                                           (3.25)

    где

    J - число критериев, которые применяется для анализа экономической эффективности;

    l_j- весовые коэффициенты, характеризующие важность критерия;