Анализ временных рядов при решении задач эконометрики

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по дисциплине:

«ЭКОНОМЕТРИКА»

Тема: АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭКОНОМЕТРИКИ

Выполнила:

Преподаватель: 

Москва

2011

Содержание:

введение……………………………………………………………………………………3

1.       Постановка задачи…………………………………………………………….4

2.       КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ИХ АНАЛИЗА………………………………5

3.       Расчет………………………………………………………………………………..10

4.       вывод…………………………………………………………………………………

5.       Библиографический список……………………………………………..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………….

Введение

В настоящее время стремительно развиваются науки, связанные с применением математических методов и информационных технологий в различных областях человеческой деятельности. Эконометрика – одна из таких наук.

Эконометрика – одна из дисциплин, составляющих базовую подготовку экономистов. Данный типовой расчет призван для закрепления знаний студентов по теме «временные ряды». В данном случае рассматриваются данные об объемах продаж некоторой страны в перерабатывающей промышленности и торговле за пять лет в сопоставимых ценах 1987г, млрд.дол. Требуется провести анализ полученных данных, составить прогноз и сделать вывод, исходя из получившихся данных.

1.Постановка задачи.

В таблице 4 приведены данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле некоторой страны, в сопоставимых ценах 1987 г., млрд. долл..

              Постройте график временного ряда. По виду графика выберите модель временного ряда – аддитивную или мультипликативную – и определите период циклической составляющей. Определите также период циклической составляющей с помощью коррелограммы. Выделите трендовую, циклическую и случайную компоненты ряда. Постройте их графики. Оцените качество модели, анализируя абсолютную ошибку. Дайте прогноз объема продаж на следующий год.

                                          Таблица 4.

2. Краткое описание используемых эконометрических моделей и методов их анализа.

Временной (динамический) ряд – это последовательность наблюдений некоторого экономического признака – случайной величины Y – в последовательные мо­менты времени t. Отдельные наблюдения yt (t=1,2,…,n) называются уровнями ряда, через n обозначено число наблюдений (уровней).

Предполагается, что временной ряд может содержать следующие состав­ляющие: тренд (T), циклическая компоненту (S), интервенцию (I), случайную компоненту (возмущение – E).

Тренд – это плавно меняющаяся компонента, отражающая длительную тенденцию изменения признака Y(t) (Например рост населения, экономическое развитие и т.п.)

Циклическая компонента отражает повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов(S).

Интервенция отражает резкое, скачко­образное изменение Y.

Возмущение характеризует влияние не поддающихся учету и регистрации факторов.

Рассматриваются две модели временных рядов, не содержащих интервенции: аддитивная модель, для которой

                                                   Y=T+S+E,                                                                                    (1)

и мультипликативная, для которой

Y=TSE                                                             (2)

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Основные этапы анализа временных рядов:

●     графическое представление и описание поведения временного ряда;

●   выделение и удаление закономерных(неслучайных) составляющих  временного ряда(тренда, сезонных и циклических составляющих);

●     сглаживание и фильтрация( удаление низко- или высокочастотных составляющих временного ряда);

●     исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели ее описания;

●        прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

●   исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Среди наиболее распространенных методов анализа временных рядов можно выделить корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Если выборка y1, y2,…, yi,…,  yn рассматривается как одна из реализаций случайной величины Y, временной ряд  y1, y2,…, yi,…,  yn рассматривается как одна из реализаций (траекторий) случайного процесса Y(t). Вместе с тем следует иметь в виду принципиальные отличия временного ряда

yt (t = 1,2,…,n) от последовательности наблюдений y1, y2,…,  yn , образующих случайную выборку. Во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются  одинаково распределенными.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные ряды применяются при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд yt (t = 1,2,…,n) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y1, y2,…,  yn такое же, как и n наблюдений

y1+τ, y2+τ,…,  yn+τ при любых n, t и τ. Другими словами, свойства строго стационарных рядов yt   не зависят от момента t.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y1, y2,…,  yn   и y1+τ, y2+τ,…,  yn+τ (сдвинутых относительно друг друга на τ единиц, или, как принято говорить с лагом τ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции ρ(τ) .

Так как коэффициент ρ(τ)  измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость ρ(τ)  - автокорреляционной функцией.

Статистической оценкой ρ(τ)  является выборочный коэффициент автокорреляции обозначим r(τ), а диаграмма r(τ)=r(t=t*,τ) при фиксированном значении t=t* называется коррелограммой.

Анализируя коррелограмму, можно вынести некоторые суждения о свойствах временного ряда в окрестности момента t=t*:

•          если величина |r(1)| значительна (по сравнению со значениями |r(τ)| при τ≠1), то ряд имеет линейный тренд;

•          если значение r(t*), t*>1, существенно превышает значение r для других лагов, то ряд содержит циклическую составляющую с периодом t*.

•          если ни одно значение r(t) не выделяется по величине, то либо ряд не содержит трендовой и циклической составляющих, либо тренд ряда является нелинейным.

Аналитическое выравнивание(сглаживание) временного ряда(выделение неслучайной компоненты).

Как уже отмечено выше, одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изменений изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей f(t) (тренда или тренда с циклической и (или) сезонной компонентой).

Рассмотрим одну простую модель временного ряда – аддитивную мо­дель, учитывающую только тренд и возмущение: Y(t)=T(t)+E(t). Задача подбора аналитической зависимости T(t), лучше всего соответствующей наблюдениям Y(t), обычно решается в два этапа. На первом этапе выбирается параметриче­ское семейство зависимостей y=T(t,b), где b – параметр, обычно векторный. На втором этапе оценивается значение параметра b, как правило, по МНК.

Параметрическое семейство y=T(t,b) определяется либо из экономических соображений, либо по виду графика Y(t). Система Excel позволяет на точечную диаграмму Y(t) добавлять следующие тренды y=T(t,b):

        линейный: y=b0+b1t;

        полиномиальный: y=b0+b1t+b2t2+…+bmtm, 2≤m≤6;

        логарифмический: y=b0+b1lnt;

        экспоненциальный: ;

        степенной: .

Для различных видов (моделей) трендов рассчитываются значения Qe, QR, R2, F, и в результате сравнения этих значений выбирается наилучшая мо­дель. Значение коэффициента детерминации R2 среда Excel позволяет вывести непосредственно на диаграмму. Заметим, что полиномиальный тренд в эконометрике при­меняется весьма редко, так как его использование обычно приводит к боль­шому риску существенной ошибки прогноза. Чаще всего рассматривается ли­нейный тренд

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов.

Известно (см. §1.4 практиче­ской работы №1), что МНК-оценки параметров линейной регрессии в условиях классической нормальной линейной регрессионной модели являются эффективными в классе всех линейных оценок, состоятельными, не­смещенными и обладают другими хорошими свойствами. Однако для временных рядов требование независимости возму­щений не всегда выполняется. Поэтому после оценки тренда следует прове­рить гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции остатков: если H0 отвергается, то качество тренда сомнительно.

В данном пособии рассматривается одно из самых популярных правил проверки гипотезы H0 – тест Дарбина-Уотсона. В соответствии с этим тестом вычисляется статистика:

.                                                                      (3)             

Можно доказать, что d=2(1-r), где r – выборочный коэффициент авто­корреляции ряда (см. Приложение). Так как -1≤ r ≤1, то 0≤ d ≤4. Значение d=0 (r=1) соответствует случаю сильной положительной автокорреляции остатков, значение d=2 (r=0) – отсутствию автокорреляции, d=4 (r=-1) – сильной отрица­тельной автокорреляции.

В статистических таблицах  для различных значений числа наблюдений n и уровня значимости  приводятся пороговые значения статистики d: нижнее dн и верхнее dв, такие, что (см. рис. 5):

        При 0≤ d≤ dн гипотеза H0 отвергается (случай положительной автокорреляции).

        При 4-dн ≤ d≤4 H0 отвергается (случай отрицательной автокорреляции).

        При dв ≤ d≤ 4-dв гипотеза H0 принимается.

        При остальных значениях d суждение о справедливости H0 не выносится (d попадает в одну из двух зон неопределенности).

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной компоненты, является метод скользящего среднего.

Метод скользящего среднего (МСС) состоит в замене каждых k последовательных уровней ряда их средним значением. Величина k называется окном усреднения (сглаживания).

Если k нечетно (k=2l+1, где l-целое положительное число), то скользящее среднее ut задается формулой:

.

Таким образом, среднее, вычисленное по k уровням ряда, приписывается к срединному моменту времени окна сглаживания. В приведенной выше формуле  t=l+1, …, n-l. Следовательно, скользящее среднее не определено для l начальных и l конечных моментов времени.

Переход от наблюдений Y к скользящему среднему позволяет «сгладить» ряд и получить значения, более близкие к тренду. Действительно, если разброс значений yt около тренда характеризуется дисперсией 2, то разброс среднего по k уровням ряда будет характеризоваться существенно меньшей дисперсией (2/k – при независимости случайных величин Y(t)). Если ряд содержит цикли­ческую составляющую, то следует брать k равным ее периоду, чтобы отрица­тельные и положительные отклонения от тренда гасили друг друга.

Рассмотрим случай четного k (k=2l). Предположим, что вычислили сред­нее значение для 2l моментов времени, начиная с t0: t0, t0+1, …, t0+l-1, t0+l, …, t0+2l-1. Середина такого интервала находится между t0+l-1 и t0+l; поэтому непо­нятно, к какому моменту привязать значение скользящего среднего. Вы­ход со­стоит в следующем: приписываем среднее любому из этих моментов, напри­мер, меньшему – t0+l-1, а затем полученный ряд еще раз сглаживаем с окном k1=2, так чтобы скользящее среднее было правильно привязано к центру окна.

Сравним два метода оценивания тренда: аналитический и МСС. Первое преимущество МСС состоит в том, что он не требует никаких предположений о характере зависимости T(t); вторым его достоинством явля­ется простота вычислений. Очевидный недостаток МСС состоит в отсутствии оценок тренда для первых и последних наблюдений. Кроме того, МСС дает только оценки тренда для моментов наблюдений, и не дает формулу зависимо­сти T(t).

Если ряд имеет циклическую компоненту, то ее значения можно вычис­лить после определения тренда. Пренебрегая случайными возмущениями, для аддитивной модели ряда получаем:

SY-T,                                                                      {4}

для мультипликативной модели получаем:

SY/T.                                                                      {5}

              Полученные приближенные значения циклической составляющей далее обрабатываются следующим образом:

        усредняются по периодам (так как в идеале значения циклической составляющей от периода к периоду должны повторяться);

        выравниваются таким образом, чтобы среднее значение за цикл для аддитивной модели было равно 0, а для мультипликативной модели –1.

3. Расчет.

задание 1.Постройте график временного ряда. По виду графика выберите модель временного ряда – аддитивную или мультипликативную – и определите период циклической составляющей. Определите также период циклической составляющей с помощью коррелограммы.

Перед построением диаграмм необходимо преобразовать таблицу 4.

Необходимо перейти от 6 столбцов к двум. То есть записать данные об объемах продаж по разным годам в столбик, в соседнем столбце пронумеровать их, а также сделать подписи.(t – нумерация, y – данные об объемах продаж). После этих простых преобразований таблица примет следующий вид:

Таблица 1.Данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле.

Построим график зависимости y(t). Для этого выделяем преобразованную таблицу, вызываем мастер диаграмм и выбираем точечную диаграмму с соединительными линиями.

Рис.1. График зависимости y(t)

По графику очень сложно определить чему равна циклическая составляющая, так как график не является строго периодичным. Тем не менее, на некоторых промежутках Тп=12.

Нельзя сказать, что амплитуда колебаний изменяется в соответствии с трендом, что необходимо для использования мультипликативной модели. Кроме того, амплитуда колебаний зависит от времени, следовательно, аддитивная модель также не является идеальной для описания данного временного ряда. Таким образом, в данной работе будут рассмотрены обе модели, а затем проведено сравнение между ними.

Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r(1,) (см. таблицу 2) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.2), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значении =12; это подтверждает что Tп=12. Окно сглаживания следует выбрать равным периоду циклической составляющей: k=Tп=12. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).

Таблица 2.Коэффициент автокорреляции.

Рис.2. Коррелограмма

значение r(12), превышает значения r для других лагов, это значит, что можно предположить, что ряд содержит циклическую составляющую с периодом 12.

Мультипликативная модель.

Рассмотрим мультипликативную модель.

Таблица 3. Расчет тренда и циклической составляющей

В третьем столбце таблицы 3 приведены результаты расчета скользящего среднего u1(t) для k=12. Средняя точка tср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) tср=6,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t=6. Для второго окна tср=7,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t=7. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.

Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна tср необходимо применить к u1(t) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u2(t)=[u1(t-1)+u1(t)]/2. Результаты расчета приведены в таблице 3 (четвертый столбец). Напомним, что расчет u2 нужен только в случае четного k. Для нечетного k средняя точка окна сглаживания tср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.

задание 2.Выделите трендовую, циклическую и случайную компоненты ряда. Постройте их графики. Оцените качество модели, анализируя абсолютную ошибку. Дайте прогноз товарооборота на следующий год.

В данном случае мы рассматриваем мультипликативную модель, поэтому для расчетов будем использовать формулы, описанные ниже. По формуле(5) {SY/T} (учитывая, что Tu2) рассчитываем S1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S2 получены усреднением S1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для мультипликативной модели ряда должно равняться единице, то выравниваем значения S2: S3= S2/S2 ср, где через S2 ср обозначено среднее значение S2. Значения циклической компоненты S получены копированием S3 по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE=Y/S (см. формулу (2)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T(t)=1,753t+451,498(см. таб. 4). По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E=Y/(ST), – значения случайной компоненты E.

Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs=Y-TS

Таблица 4.