Бесконечные произведения

ВВЕДЕНИЕ

Ещё в курсе средней  школы нам приходилось сталкиваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых (например, с суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии).

Исследование такого рода сумм, называемых рядами, может быть сведено к исследованию числовых последовательностей, тем не менее эти суммы требуют самостоятельного углубленного изучения, так как служат важным вспомогательным средством для представления различных встречающихся в анализе функций.

 

Актуальность  исследования:

Представленная работа посвящена  теме «Бесконечные произведения».

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных  условиях. Об этом свидетельствует  частое изучение поднятых вопросов.

Тема «Бесконечные произведения»  изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин.  Для  современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Бесконечные произведения».  Вопросам исследования посвящено множество  работ.  В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий  характер, а в многочисленных монографиях  по данной тематике рассмотрены более  узкие вопросы, проблемы «Бесконечных произведений». Однако, требуется учёт современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы определяют несомненную новизну данного исследования. Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Бесконечные произведения» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных, актуальных проблем тематики данного исследования.

Актуальность данной работы обусловлена, с одной стороны, большим  интересом к теме «Бесконечные произведения»  в современной науке, с другой стороны, её недостаточной разработанностью.  Рассмотрение вопросов связанных с  данной тематикой носит, как и  теоретическую,  так и практическую значимость. Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Бесконечных произведений». Теоретическое значение изучения данной проблемы заключается в том, что  избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.

Объект исследования: числовые ряды.

Предмет исследования: бесконечные произведения.

Цель курсовой работы: изучение темы «Бесконечные произведения»  с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

 

Основные задачи исследования:

• Выполнить анализ литературы по теме;
• Осветить историю развития проблемы «Бесконечные произведения»;
• Определить и пояснить на примерах понятия, используемые в работе;
• Выделить основные свойства бесконечных произведений;
• Определить связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов;
• Рассмотреть бесконечные произведения вещественных или комплексных функций;
• Подобрать и решить задачи по данной теме.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ литературы, синтез, обобщение, решение задач по теме.

Практическая  значимость проведённого исследования состоит в том, что в ходе работы была выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений, определены и доказаны основные свойства бесконечных произведений, подобран теоретический и практический материал по теме, решены задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 1.1 Основные понятия.

К понятию числового ряда близко примыкает понятие бесконечного числового произведения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность a_1,a_2,…, a_k… Записанное формально выражение вида

 

a₁a_2…a_n…=      (1.1)

 

принято называть бесконечным произведением. Отдельные элементы принято называть членами данного бесконечного произведения. Произведение первых n членов данного бесконечного произведения принято называть n-м частичным произведением и обозначать символом

 

Бесконечное произведение (1.1) называют сходящимся, если последовательность частичных произведений имеет конечный предел p, отличный от нуля. В случае сходимости бесконечного произведения (1.1) указанный предел p называют значением этого бесконечного предела и пишут:

p

 

Отметим, что последнее  равенство имеет смысл лишь для  сходящегося бесконечного произведения. Ясно, что рассмотрение бесконечных произведений по существу представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо каждому данному бесконечному произведению однозначно соответствует последовательность его частичных произведений и каждой числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля однозначно, соответствует бесконечное произведение, для которого эта последовательность является последовательностью частичных произведений (достаточно положить члены бесконечного произведения равными , при ).

 

Теорема 1. Необходимым условием сходимости бесконечного произведения (1.1) является стремление к единице его k-го члена при .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть бесконечное произведение (1.1) сходится и имеет значение p, отличное от нуля. Тогда .

Поскольку , то существует и равен единице.

Заметим, что на сходимость бесконечного произведения не влияет удаление любого конечного числа  членов этого произведения (если среди  этих членов нет равных нулю).

Поскольку бесконечное произведение, у которого хотя бы один член равен  нулю согласно принятому выше определению  считается расходящимся, то мы в дальнейшем вообще исключением из рассмотрения бесконечного произведения, у которых хотя бы один член равен нулю.

 

Примеры:

№ 1.

     (1.2)

(x – любое фиксированное число).

Докажем, что бесконечное  произведение (1.2) при любом  сходится и имеет значение . Подсчитаем n-е частичное произведение

     (1.3)

Умножаю обе части (1.3) на и последовательно используя формулу для синуса двойного угла , получим

.

Поскольку выражение в  фигурных скобках стремится к  единице при  (в силу первого замечательного предела), то существует и равен.

Тем самым доказано, что  бесконечное произведение (1.2) сходится и имеет значение при любом .

 

№ 2.

     (1.4)

Докажем, что бесконечное  произведение (1.4) сходится и имеет  значение 1/3.

Подсчитаем частичное  произведение :

 

Таким образом,  существует и равен 1/3.

§ 1.2 Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов.

Если бесконечное произведение сходится, то в силу теоремы 1 все  его члены , начиная с некоторого номера, положительны. Поскольку конечное число первых членов вообще не влияет на сходимость бесконечного произведения, то при изучении вопроса о сходимости бесконечного произведения можно, не ограничивая общности, рассматривать лишь такие бесконечные произведения, у которых все члены положительны.

Теорема 2. Для того чтобы  бесконечное произведение (1.1) с положительными членами сходилось, необходимо и  достаточно, чтобы сходился ряд

 

В случае сходимости сумма  S ряда (1.5) и значение P произведения (1.1) связаны формулой

     (1.6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначив  через  n-е частичное произведение бесконечного произведения (1.1), а через n-ю частичную сумму ряда (1.5), можем записать

.

В силу непрерывности показательной  функции для всех значений аргумента  и непрерывности логарифмической  функции для всех положительных  значений аргумента последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится , при чем если  , то . Теорема доказана.

При исследовании на сходимость бесконечного произведения оказывается  очень удобным представить его  в виде

 

При этом, конечно, в соответствии с принятым выше предположением бедем считать, что все

Теорема 2 утверждает, что  вопрос о сходимости произведения (1.7) эквивалентен вопросу о сходимости ряда

 

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение.

Теорема 3. Если все (по крайней мере начиная с некоторого номера) сохраняют один и тот же знак, то для сходимости бесконечного произведения (1.7), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку  условие  является необходимым и для сходимости ряда (1.9), и для сходимости произведения (1.7), можно считать это условие выполненным как при доказательстве необходимости, так и при доказательстве достаточности. Но из указанного условия и из асимптотической формулы

 

и

 

Поскольку по условию теоремы  все члены ряда (1.8) и (1.9), начиная с некоторого номера, сохраняют один и тот же знак, условия (1.10) и (1.11) в силу следствия из теоремы сравнения позволяют утверждать, что ряд (1.9) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (1.8). Теорема доказана.

Так же, как и для рядов  для бесконечных произведений вводятся понятия абсолютной и условной сходимостей. Бесконечное произведение (1.7) называется абсолютно сходящимся в том и  только в том случае, когда сходится абсолютно ряд (1.8). Теоремы Коши и  Римана позволяют заключить, абсолютно сходящееся произведение обладает переместительным свойством, в то время как условно сходящееся произведение заведомо им не обладает.

Теорема 3. Бесконечное произведение (1.7) сходится абсолютно тогда и  только тогда, когда сходится абсолютно  ряд (1.9).

Для доказательства этой теоремы  достаточно доказать, что ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

 

Это последнее легко вытекает из существования пределов (1.10) и (1.11).

Примеры:

№ 1.

Из расходимости гармонического ряда и из теоремы 2 вытекает расходимость следующих бесконечных произведений

 

 

Легко понять, что первое из указанных произведений расходится к +, а второе – к нулю.

№ 2.

Из этой же теоремы 2 и  из сходимости ряда при  вытекает сходимость при следующих бесконечных произведений:

 

 

 

№ 3.

Рассмотрим бесконечное  произведение

 

Так как ряд  сходится, то в силу Теоремы 2 и 3 бесконечное произведение (1.12) сходится абсолютно для любого фиксированного значения x, отличного от (где )

В п. 3 мы докажем, что это  произведение сходится к значению . Тем самым будет обоснованно разложение функции в бесконечное произведение

 

 

№ 4.

Из разложения (1.13) с помощью  соотношения  элементарно получается следующее разложение:

 

Абсолютная сходимость произведения, стоящего в правой части (1.14) для  любого x, отличного от , вытекает из теоремы 2 и 3 и из сходимости ряда .

№ 5.

Полагая, в разложении (1.13) , получим

 

Из (1.15) получается так называемая формула Валлиса 

 

Путём несложных преобразований формулу Валлиса можно привести к виду

 

Первоначально формулу Валлиса  использовали для приближённого  вычисления числа . В настоящее время для вычисления числа существует более эффективные методы. Формула Валлиса как в виде (1.16), так и в виде (1.17) представляет интерес ряда теоретических исследований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1.3 Разложение функции в бесконечном произведении.

Для удобства разобьём вывод  формулы (1.13) на отдельные этапы.

1. Пусть m – любое положительное число: m=2n+1. Прежде всего докажем, что для любого отличного от k (k=0, 1, …) значения справедлива формула

 

 

Для вывода формулы (1.18) будем  исходить из формулы Муавра

 

Расписывая правую часть, этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим

 

Учитывая, что m=2n+1, будем иметь

 

В правой части (1.19) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить на , то в правой части (1.19) получится многочлен степени n относительно . Положив z=, обозначим этот многочлен символом F(z), а его корни символами . Так как при и левая часть (1.19) стремится к единице, то многочлен F(z) можно представить в виде

 

Остается определить корни . Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции , получим

 

Таким образом, формула (1.18) установлена.

2. Положив в формуле (1.18) и считая, что , придадим этой формуле вид.

 

Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмём два произвольных натуральных числа p и n, удовлетворяющих неравенствам .

Тогда формулу (1.20) можно  записать в виде

 

где

 

Прежде всего оценим . Поскольку , то аргументы всех синусов, состоящих в формуле (1.22), принадлежат интервалу ().

Кроме того, ясно, что для  всех k, участвующих в этой формуле, и следовательно,

 

(так как , и поэтому ).

Для любого из интервала справедливы неравенства 1, поэтому для всех номеров k, превосходящих p,

 

Почленно перемножая неравенства (1.23), записанные для k=p+1,p+2,…n, получим следующую оценку для :

 

Так как аргумент лежит в первой четверти и для любого из первой четверти , то

 

Таким образом,

 

Последнее неравенство позволяет  следующим образом усилить оценку (1.24)

 

3. Теперь в формуле (1.21) устремим число m к бесконечности, оставляя фиксированными значение x и номер р. Поскольку , то существует предел левой части (1.21), равным , и предел конечного произведения  , равный .

Далее будем считать, что  последний предел отличен от нуля, так как, разложение (1.13) установлено.

Но тогда существует предел .

Обозначим этот предел через . Из неравенства (1.25), справедливых для любого номера m, вытекает, что

 

Формула (1.21) в пределе  при дает

 

Остается сохраняя фиксированным  x, устремить в формуле (1.27) номер р к бесконечности. Поскольку левая часть (1.27) не зависит от р, а предел в силу неравенств (1.26) существует и равен единице, то существует и предел

 

Таким образом, разложение (1.13) для  установлено.

Замечание. В полной аналогии с разложениями (1.13) для  и (1.14) для можно получить разложения в бесконечные произведения гиперболических функций

 

Заметим, что из разложений для  немедленно получаются разложения в бесконечные произведения функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1.4 Дзета-функция Римана

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции  Римана. В данной главе мы получим  некоторые свойства функции в  вещественной области, исходя из её определения  с помощью ряда.

Определение: Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

(1.28)

если она существует.

Основной характеристикой  любой функции является область  определения. Найдём её для нашей  функции.

Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R₊ {0}. В этом случае

и ряд (1.24) обращается в ряд

,

который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1.24) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию ,

где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

 

1. 0<s<1.

Тогда ,

поэтому ряд (1.24) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;

2. s=1.

Получаем  ,

то есть при s=1 дзета-функция Римана также не определена;

3. s>1.

В этом случае

.

Ряд (1.24) сходится.

Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции  есть промежуток . На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.

Докажем непрерывность функции  ζ(s) на области определения. Возьмём произвольное число s₀>1. Перепишем ряд (1.24) в виде

.

 Как было выше показано, ряд  сходится, а функции при s>s₀ монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s₀ ряд (1.24) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s₀ дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s₀ ζ(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1.28), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

(1.29).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (1.29) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s₀>1 и представим ряд (1.29) в виде

 для s>s₀.

Множители , начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (1.29) сходится равномерно при s>s₀, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между и , где , а ; к промежутку применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться  в существовании для дзета-функции  производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

.

Попытаемся построить  наглядное изображение функции  в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности  и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной  сходимости ряда (1.28), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем

.

При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому .

Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.

Во-первых, известно, что  если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , определённая на множестве , такая, что , и имеет первообразную , то остаток ряда оценивается так:

,

где . Применяя вышесказанное к ряду (1.28), найдём, что необходимая функция

, а  и .

Отсюда, подставляя в двойное  неравенство, имеем

(1.26).

В левом неравенстве положим  n=0, тогда , то есть . В правом же возьмём n=1 и получим , далее , и, наконец, . Переходя в неравенствах к пределу при , находим .

Отсюда, в частности, следует, что  . Действительно, положим .

Тогда ,

то есть .

Поэтому .

Из того, что  , а , вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё  более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности  единицы, чем приведённые выше, принадлежащий  Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства

.

 Прибавим ко всем  частям неравенств (3) сумму  и вычтем .

Имеем . Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и .

Мы пока не знаем, существует ли предел выражения  при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: .

Ввиду произвольности n возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C 0,577).

Значит  , а, следовательно, существует и обычный предел и .

Найденные выше пределы позволяют  получить лишь приблизительное представление  о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение

,

где - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth , а в правой части - ,

то есть cth .

Заменяем  на , получаем cth .

С другой стороны, существует равенство cth , из которого cth .

Подстановкой  вместо находим cth . Если , то для любого N

и по теореме о сложении бесконечного множества степенных  рядов  cth .

Приравняем полученные разложения:

,

следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула

(1.31),

 где  - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз  графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

 

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший  дзета-функцию, получил замечательное  разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

,

 где p_i – i-е простое число (1.27).

Докажем тождественность  ряда (1.29) и произведения (1.31). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство

Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим  заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным

,

где символ * означает, что  суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

(1.32).

Сумма содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, .

 Из (1.28) получаем

 (1.33).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а есть произведение (1.31). Значит из неравенства при ,

что и требовалось доказать.

Формула (1.31) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив , а именно показав, что

,

где остаётся ограниченным при .

Из (1.31) следует, что

где N, а при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда .

Натуральные логарифмы под  знаком суммы разлагаются в ряд:

.

Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем . Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что .

Последнее равенство справедливо, так как  . Далее, очевидно, , что и завершает доказательство.

 

 

 

 

§ 1.5 Применение дзета-функции Римана в математическом анализе

     Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

     Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p₁, p₂, … , p_n. Рассмотрим число p₁p₂…p_n+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

     Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим