Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Двоичная система счисления

Министерство образования и науки России

Федеральное государственное бюджетное образование учреждение

высшего профессионального образования «Ульяновский государственный

педагогический университет имени И.Н.Ульянова»

Юридический факультет

Кафедра гражданского права и процесса

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информационные технологии

в юридической деятельности»

Тема: «Двоичная система счисления»

Выполнил: студент 1 курса

очного отделения

группы ЮР-13-3

Давыдов Александр Сергеевич

Проверил: ассистент кафедры

гражданского права и процесса

Феоктистов Сергей Юрьевич

Ульяновск, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………..3-4

Глава 1. История возникновения двоичной системы счисления……………..5-7

Глава 2. Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные………….8

Глава 3. Арифметические действия над двоичными числами…………………..9

3.1. Двоичное сложение……………………………………………………………9

3.2. Двоичное вычитание………………………………………………...…..10-11

3.3 Двоичное умножение………………………………………………...……...12

3.4 Двоичное деление………………………………………………..……….....13

Глава 4. Способы построения двоичных кодов…………………………………. 14

4.1. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование………….………......14

4.2. Неравномерный код с разделителями…………………………….….…....15

Заключение……………………………………………………………………..…..16

Список используемых источников …………………………………………….....17

ВВЕДЕНИЕ

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всем земном шаре, алфавитом служат десять цифр, от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения число математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

Когда-то на ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Конечно, они отличали совокупности двух и трех предметов; но всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась , в связи с этим возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т.д.).

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек сначала стал пользоваться окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают.

Знакомство с таким видом счета мы все проходили в первом классе, когда считали там, на счетных палочках. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, раз-деленная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio»

(отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

Но особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и ногах.

С появлением городов и каменных сооружений все больше людей стали заниматься письменностью и началами математики. Самые сведущие придумали специальные знаки для записи чисел. Эти знаки, выполняющие роль цифр, были удобны для чтения, но для их записи требовалось довольно много времени. На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков. На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В современной науке с развитием компьютерной техники на первые роли выдвинулась двоичная система счисления, т.е. система с основанием. Она является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое.

История развития двоичной системы счисления – одна из ярких страниц в истории арифметики. Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи. В своей книге "Liber abaci" он сформулировал "задачу о выборе наилучшей системы весовых гирь для взвешивания грузов на рычажных весах". В русской историко-математической литературе эта задача известна под названием Баше-Менделеева в честь французского математика 17-го века Баше де Мезириака, поместившего ее в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.), и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который к концу жизни стал директором Главной Палаты мер и весов России и интересовался этой задачей по долгу своей службы.

Известно два варианта решения задачи Баше-Менделеева. Первый предполагает, что гири разрешается класть только на одну, свободную от груза чашу весов; при этом оптимальным решением является "двоичная система гирь": 1, 2, 4, 8, 16, которая при взвешивании "порождает" двоичный способ представления чисел. При втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов; оптимальным решением при этом является "троичная система гирь": 1, 3, 9, 27 , которая при взвешивании "порождает" троичную симметричную систему счисления, которая и была положена Н. П. Брусенцовым в основу троичного компьютера "Сетунь".

Но автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен: это известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716), который в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Лейбниц настолько был восхищен

своим открытием, что в его честь выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел - возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда математическое открытие было удостоено такой высокой почести.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах ("Принципы Джона фон Неймана").

Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, а также разработку Лейбницем двоичной арифметики по праву можно отнести к разряду действительно эпохальных математических открытий, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники.

До начала тридцатых годов XX века двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратной реализации. Первые двоичные механические вычислительные машины были построены во Франции и Германии. Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под несомненным влиянием работы А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой,

написанной в 1946 году. В этой работе наиболее аргументированно обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики.

В двоичной системе счисления используются только два символа, что хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем. Действительно очень удобно представлять отдельные составляющие информации с помощью двух состояний:

Отверстие есть или отсутствует (перфолента или перфокарта);
Материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски);
Уровень сигнала большой или маленький.

Существуют специальные термины, широко используемые в вычислительной технике: бит, байт и слово.

Битом называют один двоичный разряд. Крайний слева бит числа называют старшим разрядом (он имеет наибольший вес), крайний справа – младшим разрядом (он имеет наименьший вес).

Восьмибитовая единица носит название байта.

Многие типы ЭВМ и дискретных систем управления перерабатывают информацию порциями (словами) по 8, 16 или 32 бита (1, 2 и 4 байта).

ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ И ПЕРЕВОД ИХ В ДЕСЯТИЧНЫЕ

Совершенно очевидно, что двоичное число представляется последовательностью нулей и единиц – разрядов. Как и в любой позиционной системе, каждому разряду присвоен определенный вес – показатель степени основания системы.

Для позиционной системы соответствия между позицией и весом следующее:

... pn pn-1 … p1 p0 , p-1 p-2 …

... bn bn-1 … b1 b0 , b-1 b-2 …

Веса первых 10 позиций двоичной системы счисления представлены в таблице:

Позиция	9	8	7	6	5	4	3	2
148	- 74	2
1	74	- 37	2
	0	36	- 18	2
		1	18	- 9	2
			0	8	- 4	2
				1	4	- 2	2
					0	2	- 1	2
						0	0	0
							1

старший разряд (10010101)2=(149)10

ГЛАВА 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ

ДВОИЧНОЕ СЛОЖЕНИЕ

Двоичное сложение выполняется по тем же правилам, что и десятичное, с той лишь разницей, что перенос в следующий разряд производиться после того, как сумма достигнет не десяти, а двух.

Пример: Сложение двоичных чисел. В нем наглядно расписано, как осуществляется сложение и учетов переносов единиц в следующий разряд:

+	101101
	111110
	010011	- поразрядная сумма без учета переносов
+	1011000	- переносы
	0010011	- поразрядная сумма без учета переносов
	1001011	- поразрядная сумма без учета повторных переносов
+	0100000	- повторные переносы
	1001011	- поразрядная сумма без учета повторных переносов
	1101011	- окончательный результат

Пример: Сложение двоичных чисел

+	110	1011
	10111	10101
	10001	00011	- поразрядная сумма без учета переносов

+	111	1	- переносы
	10001	00011
	11100	01011	- поразрядная сумма без учета повторных переносов

+	1		- повторные переносы
	11100	01011
	11110	01011	- окончательный результат

Сложение нескольких чисел вызывает некоторые трудности, так как в результате поразрядного сложения могут получиться переносы, превышающие единиц

ДВОИЧНОЕ ВЫЧИТАНИЕ

Вычитание в двоичной системе выполняется аналогично вычитанию в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде приходится вычитать единицу из нуля, занимается единица из следующего старшего разряда. Если в следующем разряде нуль, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. При этом следует понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда, т. е. вычитание выполняется по следующему правилу:

Пример: Вычитание двоичных чисел

-	11010	1011
	1101	01111
	1101	00111

Конечно, математически вычитание выполнить несложно. Однако, если поступать таким образом, то к примеру в ЭВМ придется для выполнения сложения и вычитания иметь два блока: сумматор и вычитатель. Поэтому поступают следующим образом: вычитание можно представить как сложение положительного и отрицательного чисел, необходимо только подходящее представление для отрицательного числа.

Рассмотрим четырехразрядный десятичный счетчик, какие в автомобиле отсчитывают пройденный путь. Пусть он показывает число 2, если вращать его в обратном направлении, то сначала появится 1, затем 0, после 0 появится число 9999. Сложим, к примеру, 6 с этим числом:

+	6
	9999
	10005

Если пренебречь единицей переноса и считать 9999 аналогом –1, то получим верный результат.

Число 9999 называется десятичным дополнением числа 1.

Таким образом, в десятичной системе счисления отрицательные числа могут быть представлены в форме десятичного дополнения, а знак минус можно опустить.

Двоичное дополнение числа определяется как то число, которое будучи прибавлено к первоначальному числу, даст только единицу переноса в старшем разряде.

Пример: двоичное дополнение числа

+	010101111	- число
	101010001	- двоичное дополнение
	1000000000	- сумма

Для получения двоичного дополнения необходимо:

получить обратный код, который образуется инвертированием каждого бита:

010101111	- число
101010000	- обратный код

прибавить к обратному коду единицу, образовав таким образом дополнительный код:

+	101010000	- обратный код
	1
	101010001	- дополнительный код

ДВОИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ

Умножение двух двоичных чисел выполняется так же, как и умножение десятичных. Сначала получаются частичные произведения и затем их суммируют с учетом веса соответствующего разряда множителя.

Отличительной особенностью умножения в двоичной системе счисления является его простота, обусловленная простотой таблицы умножения.

В соответствии с ней, каждое частичное произведение или равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в соответствующем разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения в двоичной системе сводится к операциям сдвига и сложения.

Умножение производится, начиная с младшего или старшего разряда множителя, что и определяет направление сдвига. Если сомножители имеют дробные части, то положение запятой в произведении определяется по тем же правилам, что и для десятичных чисел.

ДВОИЧНОЕ ДЕЛЕНИЕ

Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению десятичных чисел. Рассмотрим деление двух целых чисел, так как делимое и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем перенесения запятой в делимом и делителе на одинаковое число разрядов и дописывания необходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, причем последняя целая цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны.

Пример : Деление двоичных чисел

1) 18 : 2		2) 14 : 4
10010	10	1110	100
10	1001=(9)10	100	11,1=(3,5)10
00		110
00		100
001		100
000		100
10		0
10
0

ГЛАВА 4. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ДВОИЧНЫХ КОДОВ

Начиная с конца 60-х годов, компьютеры все больше используют для обработки текстовой информации и в настоящее время большая часть компьютеров в мире занято именно обработкой текстовой информации.

Традиционно для кодирования одного символа используется количество информации равное 1 байту, то есть 8 бит. Если рассматривать символы как возможные события, то получаем, что количество различных символов, которые можно закодировать, будет равно 256. Такое количество символов вполне достаточно для представления текстовой информации, включая прописные и строчные буквы русского и латинского алфавитов, а так же цифры, знаки препинания и математических операций, графические символы и так далее.

Но способов построения таких кодов очень много, рассмотрим некоторые из них:

4.1. АЛФАВИТНОЕ НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВОИЧНОЕ КОДИРОВАНИЕ

При алфавитном способе двоичного кодирования символы некоторого первичного алфавита (например, русского) кодируются комбинациями символов двоичного алфавита (т.е. 0 и 1), причем, длина кодов и, соответственно, длительность передачи отдельного кода, могут различаться. Оптимизировать кодирование можно за счет суммарной длительности сообщения.

Суммарная длительность сообщения будет меньше, если применить следующий подход: чем буква первичного алфавита, встречается чаще, то присваиваем ей более короткой по длине код. Следовательно, коды букв, вероятность появления которых в сообщении выше, следует строить из возможно меньшего числа элементарных сигналов.

Возможны различные варианты двоичного кодирования, однако, не все они будут пригодны для практического использования - важно, чтобы закодированное сообщение могло быть однозначно декодировано, т.е. чтобы в последовательности 0 и 1, которая представляет собой многобуквенное кодированное сообщение, всегда можно было бы различить обозначения отдельных букв.

4.2. НЕРАВНОМЕРНЫЙ КОД С РАЗДЕЛИТЕЛЯМИ

Для того что бы было проще декодировать сообщения был придуман код с разделителями.

Проще всего достичь однозначного декодирования, если коды будут разграничены разделителем - некоторой постоянной комбинацией двоичных знаков. Условимся, что разделителем отдельных кодов букв будет последовательность 00 (признак конца знака), а разделителем слов - 000 (признак конца слова - пробел). Довольно очевидными оказываются следующие правила построения кодов:

код признака конца знака может быть включен в код буквы, поскольку не существует отдельно (т.е. кода всех букв будут заканчиваться 00);
коды букв не должны содержать двух и более нулей подряд в середине (иначе они будут восприниматься как конец знака);
код буквы (кроме пробела) всегда должен начинаться с 1;
разделителю слов (000) всегда предшествует признак конца знака;

При этом реализуется последовательность 00000 (т.е. если в конце кода встречается комбинация ...000 или ...0000, они не воспринимаются как разделитель слов); следовательно, коды букв могут оканчиваться на 0 или 00 (до признака конца знака).

Длительность передачи каждого отдельного кода 4 очевидно, может быть найдена: ti = ki • τ, где ki - количество элементарных сигналов (бит) в коде символа L.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Благодаря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Багриновский, К.А. Новые информационные технологии / К.А. Багриновский, Е.Ю. Хрусталев. - М.: ЭКО, 1996. - 229 с.

2. Баронов, В.В. Информационные технологии и управление предприятием / В.В. Баронов, Г.Н., Калянов, Ю.Н. Попов и др. - М.: Компания Айти, 2004. - 328 с.

Двоичная система счисления 📙 Контрольная → 🆔 24784