Индексный метод анализа динамики среднего уровня (индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов)

    23 вариант. Индексный метод анализа  динамики среднего уровня (индексы  переменного, постоянного состава  и структурных сдвигов). 

    Введение 

    При сопоставлении каких-либо данных, характеризующих  экономические явление или процесс  во времени и в пространстве, широко используются относительные статистические показатели — индексы.

    Индекс (от лат.) – указатель, показатель.

    В статистике, индекс – это относительный  показатель, который характеризует  соотношение явлений во времени  в пространстве и по сравнению  с планом.

    Индексы позволяют рассчитать и соизмерить сложные социально-экономические  явления, особенно состоящие из непосредственно  несопоставимых элементов. Индексы  основаны на отчетных и базисных данных в зависимости от отношения показателей  к содержанию исследования. Элементами индексов являются индексируемая величина, ее тип (форма), вес, срок исполнения.

    С помощью индексов характеризуется  развитие национальной экономики и  ее отдельных отраслей, анализируются  результаты производственной деятельности предприятий и организаций, исследуется  роль отдельных факторов в формировании экономических показателей, выявляются резервы производства, определяется уровень жизни и т.д.

    Индексный метод широко применяется для  изучения последовательного изменения  явлений как способ изучения их динамики, для сопоставления в пространстве, позволяя выделить и измерить влияние  факторов на изучаемое явление.

    При анализе какого-либо явления проводится определение характеристик, лежащих  в основе изучаемого процесса, и  отбрасываются менее существенные факторы. Так как в сложной  модели учитываемые показатели могут быть очень различны, для включения их в расчеты необходимо привести их к единой базе. Получив сравнимые индексы, можно определить соотношение признаков в изучаемом явлении. Это позволяет определить возможные замещения существующих процессов альтернативными (методы производства, сбыта и т.д.) для повышения эффективности деятельности фирмы.

    Индексный метод имеет широкое применение в статистике. В зависимости от характера изучаемого явления здесь  вычисляются индексы объемных и  качественных показателей. Посредством  индексов объемных показателей характеризуются  изменения объема поступления и  реализации товаров, уровня товарных запасов  и т.д. Индексами качественных показателей  характеризуются изменения цен, производительности труда, издержек обращения, прибыли и других показателей.

    Целью работы являются изучение индексного метода анализа динамики среднего уровня (индексы переменного, постоянного  состава и структурных сдвигов), овладение методами расчета и  анализа важнейших показателей, а также приобретение практических навыков правильной интерпретации  полученных результатов. 
 

1. Общая характеристика индексов

    Индексный метод имеет важное значение в  статистических исследованиях. Полученные на основе этого метода показатели используются для характеристики развития анализируемых показателей во времени, по территории, для изучения структуры и взаимосвязей, выявления роли факторов в изменении сложных явлений.

    Индексы широко применяются в экономических  разработках государственной и  ведомственной статистики.

    Основой индексного метода при определении  изменений в производстве и обращении товаров является переход от натурально-вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным (денежным) измерителям. Именно посредством денежного выражения стоимости отдельных товаров устраняется их несравнимость как потребительных стоимостей и достигается единство.

    Индексами называют сравнительные относительные величины, которые характеризуют изменение сложных социально-экономических показателей (показатели, состоящие из несуммируемых элементов) во времени, в пространстве, по сравнению с планом.

    Индекс  – это результат сравнения  двух одноименных показателей, при  исчислении которого следует различать  числитель индексного отношения (сравниваемый или отчетный уровень) и знаменатель  индексного отношения (базисный уровень, с которым производится сравнение). Выбор базы зависит от цели исследования. Если изучается динамика, то за базисную величину может быть взят размер показателя в периоде, предшествующем отчетному. Если необходимо осуществить территориальное  сравнение, то за базу можно принять  данные другой территории. За базу сравнения  могут приниматься плановые показатели, если необходимо использовать индексы  как показатели выполнения плана.

    Индексы формируют важнейшие экономические  показатели национальной экономики  и ее отдельных отраслей. Индексные  показатели позволяют осуществить  анализ результатов деятельности предприятий  и организаций, выпускающих самую  разнообразную продукцию или  занимающихся различными видами деятельности. С помощью индексов можно проследить роль отдельных факторов при формировании важнейших экономических показателей, выявить основные резервы производства. Индексы широко используются в сопоставлении  международных экономических показателей  при определении уровня жизни, деловой  активности, ценовой политики и т.д.

    Статистический  индекс — это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

    Существует  два подхода в интерпретации  возможностей индексных показателей: обобщающий (синтетический) и аналитический, которые в свою очередь определяются разными задачами.

    Суть обобщающего подхода - в трактовке индекса как показателя среднего изменения уровня исследуемого явления. В этом случае основной задачей, решаемой с помощью индексных показателей, будет характеристика общего изменения многофакторного экономического показателя.

    Аналитический подход рассматривает индекс как показатель изменения уровня результативной величины, на которую оказывает влияние величина, изучаемая с помощью индекса. Отсюда и иная задача, которая решается с помощью индексных показателей: выделить влияние одного из факторов в изменении многофакторного показателя. 
 

2. Основные  виды индексов. Сущность индексного метода

    От  содержания изучаемых показателей, методологии расчета первичных  показателей, целей и задач исследования зависят и способы построения индексов.

    По  степени охвата элементов явления  индексы делятся на: индивидуальные и общие (сводные, агрегатные).

    Индивидуальные  индексы (однотоварные индексы) характеризуют  изменение отдельных единиц совокупности.

    Общий (сводный) индекс характеризует изменение по всей совокупности элементов сложного явления.

    Различают также индексы количественных показателей (объемных) и индексы качественных показателей (цен, себестоимости). При их расчете используют цепной и базисный способы расчета. В зависимости от методологии расчета различают агрегатные и средние индексы.

    В целом индексный метод направлен  на решение следующих задач:

1. характеристика общего изменения уровня сложного социально-экономического явления,
2. анализ влияния каждого из факторов на изменения индексируемой величины путем элиминирования воздействия прочих факторов,
3. анализ влияния структурных сдвигов на изменение индексируемой величины.

    Индексный метод использует принятые символы, для обозначения индексируемой  величины:

    i – индивидуальный индекс,

    I – общий (сводный, агрегатный) индекс,

    p – цена,

    q – количество, объем,

    pq – количество, объем в стоимостном выражении (объем товарооборота),

    z – себестоимость,

    zq – объем затрат на производство,

    r – урожайность,

    s – посевные площади,

    rs – валовый сбор с/х культур,

    1 – текущий или сравниваемый  отчетный период,

    0 – базисный период.

    Индексный метод использует цепной и базисный метод расчета. Это значит, что  база сравнения может быть выбрана  как постоянная (базисный метод) (за базу сравнения принимается первый уровень ряда) или как переменная (цепной метод) (за базу сравнения принимается  предыдущий уровень). 
 

3. Индивидуальные  индексы

    Если  анализируются простые явления  или не имеет значения структура  сложных явлений, то применяются  индивидуальные индексы.

    Индивидуальный  индекс – характеризует изменения  во времени экономических величин  относящихся к одному объекту. При  этом индексируемая величина в числителе  всегда берется в текущем периоде, в знаменателе – в базисном периоде. Текущий период всегда более  поздний.

    Например, такие простые явления как  количество проданного товара q и его цена р своим произведением образуют такое сложное явление, как выручка от продаж Q=qp. Сравнение их значений по отдельности для конкретного товара в отчетном периоде времени относительно какого-либо базисного периода и дает индивидуальные индексы:

• количества товара i_q = q₁ /q₀ ;
• его цены i_p = p₁/p₀ ;
• выручки от продаж i_Q = Q₁ /Q₀ .

    Очевидно, что индивидуальный индекс сложного явления формируется из таких индексов простых его составляющих по типологической формуле его определения. То есть

    i_Q=i_qi_p (1)

    Подставив сюда индивидуальный индекс выручки, записываем: Q₁/Q₀= i_qi_p

    откуда  получаем, что

    Q₁= i_qi_pQ₀ (2)

    Формула (1) представляет собой двухфакторную мультипликативную модель сложного явления, позволяющую находить его изменение под влиянием каждого фактора в отдельности.

    Мультипликативной она называется потому, что содержит только действие умножения. Если в формуле только сложение, или вычитание, или оба этих действия, то она называется аддитивной моделью. Если в формуле только деление, то она называется кратной моделью. Если в формуле сложение и вычитание с умножением и делением в любом сочетании, то она называется смешанной моделью.

    Общее изменение выручки равняется  =Q₁-Q₀, а ее изменение от каждого фактора определяется следующим образом. От изменения количества товара при постоянной цене (i_p = 1) оно равно

     _q= i_qQ₀ - Q₀ = (i_q –1) Q₀, (3)

    а при изменении еще и цены оно  будет равным

     _p= Q₁ - Q₀ - _q = i_qi_pQ₀ - Q₀ - (i_q –1) Q₀= i_q(i_p –1) Q₀,   (4)

    Формулы (3) и (4) получены исходя из того, что в основной формуле выручки количество товара - первый фактор, а цена - второй. Если эти факторы поменять местами, то выручка и ее общее изменение останутся прежними, но изменения от каждого фактора будут другими.

    Так, если основываться на формуле выручки  вида Q = pq, то ее изменение за счет цены, как первого фактора, по аналогии с формулой (3) будет равняться

     _p = (i_p –1) Q₀ , (5)

    Изменение выручки за счет количества товара, как второго фактора, по аналогии с формулой (4) определится по выражению

     _q= i_p(i_q –1) Q₀.  (6)

    Суммарное по факторам изменение выручки равняется  ее общему изменению.

    В связи с различными факторными изменениями  выручки в зависимости от места фактора в ее основной формуле, встает вопрос, какую же формулу выручки применять для анализа. Это зависит от конкретной экономической ситуации. Если увеличение выручки обеспечивается главным образом за счет роста количества проданного товара при более или менее стабильной цене, то товар считается первым фактором, а цена — вторым. Если же увеличение выручки достигается в основном повышением цен без увеличения и даже при снижении количества проданного товара, то цена считается первым фактором, а товар — вторым.

    Значит, очередность анализа по факторам вытекает из вида формулы сложного явления. Так, если материальные затраты  М на выпуск продукции определяются как произведение ее количества q, удельного расхода материала т и его цены р, то типологическая формула имеет вид

    М = qmp, (7)

    а трехфакторная мультипликативная  модель запишется как

    M₁=i_qi_mi_pM₀. (8)

    Следовательно, можно записать следующие формулы  факторных изменений материальных затрат

    Меняя факторы местами в основной формуле (8), можно получать другие факторные формулы. Но всегда общее изменение материальных затрат, равное сумме факторных изменений, будет одинаковым.

    Подобные  мультипликативные модели можно  формировать для неограниченного числа факторов.

4. Простые общие  индексы

    Индекс  становится общим, когда в основной формуле показывается неоднородность изучаемого явления. Например, анализируется  изменение выручки от продаж не одного, а всех или нескольких видов товаров. Тогда общий индекс количества проданных  товаров будет равен

     =  (9)

    Аналогично  по ценам  =  (10)

    Аналогично  по выручке  = =  (11)

    Однако  здесь двухфакторная мультипликативная  модель не может выглядеть как  в случае индивидуальных индексов, потому что произведение простых общих индексов количества товаров и цен не равно общему индексу выручки. То есть и убеждаемся в этом неравенстве, подставив значения общих индексов из формул (9) – (11).

    В самом деле:

    Как видим, в числителе и знаменателе  левой части произведения сумм, а  в числителе и знаменателе  правой части сумма произведений и они, конечно, не адекватны.

    Это вызвано тем, что записанные выше общие индексы простых явлений не отражают взаимосвязи между собой в сложном явлении и потому считаются не объективными. Поэтому они помечены штрихом и названы простыми общими индексами.

5. Агрегатные  общие индексы

    Объективность общим индексам придает их запись в агрегатном виде, предложенная Ласпейресом и Пааше.

    Агрегатный  общий индекс Ласпейреса для количества товаров как первого фактора  выручки определяется по формуле

     =  (12)

    Аналогично  можно записать агрегатный общий  индекс Ласпейреса для цен как  первого фактора выручки, то есть

     =  (13)

    В формулах Ласпейреса знаменатели по существу одинаковые, представляя собой выручку базисного периода, а числители разные. В формуле (12) это отчетная выручка в базисных ценах (количесгво товаров отчетное, а цены — базисные), в формуле (13) наоборот — базисная выручка в отчетных ценах (цены отчетные, а количество товаров — базисное).

    Агрегатные  общие индексы Пааше применяются  ко вторым факторам мультипликативных моделей. Поэтому такой индекс для цен как второго фактора выручки определяется по формуле

     =  (14)

    Аналогично  можно записать агрегатный общий  индекс Пааше для количества товаров  как второго фактора выручки, то есть

     =  (15)

    В формулах Пааше числители по существу одинаковые, представляя собой выручку  отчетного периода, а знаменатели  аналогичны числителям формул Ласпейреса.

    Для облегчения запоминания студентами формул Ласпейреса и Пааше предлагаю  обратить внимание на букву «ш» в  слове «Пааше», которая напоминает «111» - так обозначены отчетные периоды  в общей формуле (две единицы  – в числителе, а одна – в  знаменателе). В формуле же Ласпейреса – три нуля (наоборот к формуле  Пааше).

    Произведения  количественного индекса Ласпейреса и ценового индекса Пааше, а также ценового индекса Ласпейреса и количественного индекса Пааше дают общий индекс выручки

     . (16)

    Однако  вид этих формул показывает, что  однофакторные индексы Ласпейреса и Пааше не равны между собой. То есть не равными являются количественные индексы Ласпейреса и Пааше и ценовые. Американский экономист Гершенкрон обширными расчетами установил, что по одному и тому же фактору индекс Ласпейреса обычно больше индекса Пааше и это открытие названо эффектом Гершенкрона.

    Но  в статистике должно быть одно значение индекса, поэтому американский экономист Фишер предложил применять среднюю геометрическую величину из индексов Ласпейреса и Пааше, определяя ее по формулам:

    для количества товаров  =  (17)

    для цен =  (18)

6. Общие индексы  как средние из индивидуальных

    Помимо  записи общих индексов в агрегатном виде, на практике часто используют формулы их расчета как величин, средних из соответствующих индивидуальных индексов.

    Используя их формулы, можем записывать, что  q₁ = q₀i_q и p₁ = p₀i_p, а также, что q₀ =q₁/i_q и р₀=р₁/i_p. Подставив отчетные значения количества товара и цены в формулу общего индекса выручки, получим

    I_Q= = = . (19)

    Значит, общий индекс выручки можно определять только через ее базисные значения с умножением в числителе на индивидуальный индекс выручки по конкретному товару.

    Теперь  подставим базисные значения количества товара и цены в формулу общего индекса выручки. Тогда получим

    I_Q = . (20)

    Значит, общий индекс выручки можно определять только через ее отчетные значения с делением в знаменателе на индивидуальный индекс выручки по конкретному товару.

    Аналогично  через индивидуальные индексы количества товара и цены можно выразить агрегатные общие индексы Ласпейреса и Пааше.

7. Индекс  структурных сдвигов

    Выше  изложенные общие индексы применимы  к изучению явлений, образованных как  разными, так и однородными процессами. В последнем случае динамику итога можно показать через простые общие индексы отдельных факторов.

    Для доказательства в формуле количественного  индекса Ласпейреса числитель умножим  и разделим на , а знаменатель – на . Тогда будем иметь

     = = = , (21)

    где = - простой общий индекс количества товаров;

     = – доля или удельный вес конкретного товара в общем количестве;

     = - агрегатный общий индекс структуры, доли или удельного веса, часто называемый индексом структурных сдвигов.

    Следовательно, количественный индекс Ласпейреса равняется  произведению простого общего индекса количества товаров и индекса структурных сдвигов. То есть

     = , (22)

    откуда  для определения индекса структурных  сдвигов получается довольно простая формула

     = / . (23)

    Используя формулу (22) в двухфакторной модели общего индекса выручки, получим его трехфакторную мультипликативную модель вида

    I_Q = = . (24)

    Трехфакторная модель возможна к широкому применению в экономическом анализе для установления количественного влияния каждого фактора на вариацию сложного явления.

8. Факторный анализ общей и частной выручки

    Приравнивая правую часть полученной трехфакторной  модели и среднюю часть формулы (24), записываем выражение

     = ,

    из  которого заключаем, что общую выручку  отчетного периода можно определить через общую выручку базисного  периода и общие индексы по мультипликативной формуле

     = . (25)

    Эта формула в точности соответствует  мультипликативной модели (8), что позволяет применять соответствующие формулы факторных изменений. Так, изменение общей выручки за счет изменения общего количества товаров определится по формуле

     = . (26)

    Изменение общей выручки за счет изменения  долей конкретных товаров (структурных сдвигов) определяется по формуле

     = . (27)

    И наконец изменение общей выручки  за счет изменения цен определяется по формуле

     = . (28)

    Естественно, сумма факторных изменений должна равняться общему итоговому изменению. То есть для контроля правильности анализа проверяется выполнение условия

     = - = + + . (29)

    Факторный анализ изменения выручки по отдельному товару в составе общего товарооборота ведется на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели

     = , (30)

    где = — индивидуальный индекс доли конкретного товара.

    Следовательно, изменения выручки по конкретному  товару за счет изменения каждого  фактора могут определяться по формулам:

    за  счет изменения общего количества товаров (товарооборота)

     = ; (31)

    за  счет изменения доли конкретного  товара

     = ; (32)

    за  счет изменения цены конкретного  товара

     = . (33)

    Естественно, факторные изменения выручки  по конкретному товару в сумме  должны равняться полному изменению  выручки по этому товару. То есть для контроля правильности анализа проверяется выполнение условия

     = - = + + . (34)

    где j — признак конкретного товара.

    Кроме того, полные изменения выручки по каждому товару в сумме должны равняться общему изменению выручки  по всему товарообороту. То есть для контроля правильности анализа дополнительно проверяется выполнение условия = . При этом для облегчения необходимого контроля результаты факторного анализа представляются в виде факторной таблицы, рассмотренной ниже в методических указаниях по теме.