Контрольная работа «Эконометрика»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика Д.Н. Прянишникова»

 

 

Кафедра финансов, кредита и

 экономического анализа

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине «Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

 

Пермь 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1 раздел задача № 1…………………………………………………………...

2 раздел задача № 2……………………………………………………………..

3 раздел 1 теоретический  вопрос № 25 - Измерение тесноты  связи множественной регрессии  и границы его изменения…………………

4 раздел 2 теоретический  вопрос № 49 - Понятие Лага Алмон и его использование……………………………………………………….

Список использованных источников………………………………………….....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Измерение тесноты связи множественной регрессии и границы его изменения.

 

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, издержек производства и других вопросах. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

,

где зависимая переменная (результативный признак);

       независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

• линейная – ;
• степенная – ;
• экспонента – ;
• гипербола – .

В некоторых случаях используются и другие функции, приводимые к линейному виду методами всевозможных замен [8].

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определённость.
2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадёжность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором факторов, то для неё рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счёт рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтённых в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией .

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа [7]. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для её решения может быть применен метод определителей:

, ,…, ,

где определитель системы;

        , , частные определители; которые получаются путём замены

                                соответствующего столбца матрицы  определителя системы 

                                данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

,

где , стандартизированные переменные;

      стандартизированные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе применим МНК. Стандартизированные коэффициенты регрессии ( коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

.

Решая её методом определителей, найдём параметры – стандартизованные коэффициенты регрессии ( -коэффициенты). Они показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением .

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизированными коэффициентами описывается соотношением:

.

Параметр определяется как:

.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

.

Для расчёта частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя детерминации [9].

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

,

где общая дисперсия результативного признака;

      остаточная дисперсия.

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

   .

При правильном включении факторов в регрессионную модель величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем, четвёртом знаках). Отсюда ясно, что сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора [3].

Расчёт индекса множественной корреляции предполагает определение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:

.

Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной детерминации:

.

При линейной зависимости признаков формула индекса множественной корреляции может быть представлена следующим выражением:

,

где стандартизованные коэффициенты регрессии;

      парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции.

Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции: , где определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

        определитель матрицы межфакторной корреляции.

Как видим, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции [5].

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

или по рекуррентной формуле:

.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции. Частные коэффициенты (индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включённых в уравнение регрессии, в основном их используют на стадии формирования модели. Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счёт дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

,

где число наблюдений;

      число факторов [9].

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью -критерия Фишера:

Частный -критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого факторов в уравнении. В общем виде для фактора частный -критерий определится как:

.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью -критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

,

где средняя квадратичная ошибка коэффициента  регрессии она может

                быть определена по следующей формуле:

 

.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.

Считается, что две переменные явно коллинеарны, то есть находятся между собой в линейной зависимости, если .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надёжна оценка распределения суммы объяснённой вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы    были бы равны нулю. Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения

 матрица коэффициентов  корреляции между факторами имела  бы определитель, равный 1:

, так как  и .

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0:

. [2]

Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадёжнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Проверка мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных . Доказано, что величина    имеет приближенное распределение с степенями свободы. Если фактическое значение превосходит табличное (критическое) , то гипотеза отклоняется. Это означает, что , недиагональные ненулевые коэффициенты корреляции указывают на коллинеарность факторов. Мультиколлинеарность считается доказанной.

Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора остатки   имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

При нарушении гомоскедастичности мы имеем неравенства:

, .

При малом объёме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда-Квандта. Основная идея теста Гольдфельда-Квандта состоит в следующем:

1. упорядочение наблюдений по мере возрастания переменной ;
2. исключение из рассмотрения центральных наблюдений; при этом , где число оцениваемых параметров;
3. разделение совокупности из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора ) и определение по каждой из групп уравнений регрессии;
4. определение остаточной суммы квадратов для первой и второй групп и нахождение их отношения: .

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение будет удовлетворять -критерию со степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина превышает табличное значение -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин [6].

Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и так далее). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, то есть качественные переменные преобразовать в количественные.

Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. Например, включать в модель фактор «пол» в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

[4].

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории (женский пол) к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе -критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие Лага Алмон и его использование

Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К моделям первого типа относятся модели авторегрессии или модели с распределенным лагом.

Величину L, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, — лаговыми переменными. 

Эконометрическое моделирование  осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом

Уt=a+ β0 xt  + β 1 xt-1+…+   β 2 xt-2+Et,       где                                                    (1)   

Хt-инвестиции в производство;

Уt-прибыль[1.с302].

Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Ширли Алмон.

Данный метод можно применять к моделям, которые характеризуются полиномиальной структурой лага и конечной величиной лага L:

Уt=   β0+ β 1*  xt+  β2* xt-1+…+   β L*Х t-L +Et                 (2)                              

С помощью модели с распределённым лагом можно охарактеризовать влияние изменения факторной переменной х на дальнейшее изменение результативной переменной у, т. е. изменение х в момент времени t будет оказывать влияние на значение переменной у в течение L следующих моментов времени.

Параметр регрессии  β 1 называется краткосрочным мультипликатором. Он показывает среднее абсолютное изменение хt  на единицу своего измерения в конкретный момент времени t при исключении влияния лаговых значений фактора x.

Параметр регрессии  β 2   характеризует среднее абсолютное изменение переменной уt в результате изменения переменной хt на единицу своего измерения в момент времени t -1.

Сумма     параметров    ( β1 +   β 2 ) с распределенным лагом распределенным лагом Он отражает совокупное влияние фактора x на переменную y в момент времени t + 1, т. е. изменение x на единицу в момент времени t вызывает изменение y на  β1   единиц в момент времени t и изменение y на   β 2  в момент времени t + 1.

Сумма параметров β = +β1+β2+…+βL называется долгосрочным  мультипликатором. Он характеризует общее изменение переменной y в момент времени (t + L) под воздействием изменения переменной x на единицу своего измерения в момент времени t.

Средним лагом называется средний период времени, в течение которого будет происходить изменение результативной переменной под влиянием изменения фактора x в момент t:

                                            (3)

Если величина среднего лага небольшая, то y достаточно быстро реагирует на изменение фактора x. Если величина среднего лага большая, то факторная переменная x медленно воздействует на результативную переменную y.

Медианный лаг — это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат [11.с457].

Суть метода Алмона состоит в следующем:

1) зависимость коэффициентов  при факторных переменных βt от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:

а ) первого порядка βi=c0+c1*i

б) второго порядка

в) третьего порядка

г) в общем случае порядка P:

Алмон доказал, рассчитать оценки коэффициентов намного проще, чем найти оценки непосредственно коэффициентов βi. Подобный метод оценивания коэффициентов βi  называется полиномиальной аппроксимацией.

2) каждый коэффициент  модели (2) можно выразить следующим  образом:

β1=c0;

β2=c0+c1+…+cP;

β3=c0+2c1+4c2+…+2PcP;

β4=c0+3c1+9c2+…+3PcP;

…

βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP.

Подставим полученные выражения для коэффициентов βi в модель (2):

Уt=β0+c0xt+( c0+c1+…+cP)xt–1+…+( βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP)xt–L+εt.

3) в полученном выражении  перегруппируем слагаемые:

Обозначим слагаемые в скобках при коэффициентах

как новые переменные:

С учётом новых переменных модель примет вид:

yt=β0+c0z0+c1z1+…+cPzP+εt. (4)

4) оценки неизвестных  коэффициентов модели (4) можно рассчитать  с помощью традиционного метода  наименьших квадратов. Далее на  основе полученных оценок коэффициентов

5) найдём оценки коэффициентов 

модели (2), используя соотношения, полученные на первом шаге.

К основным недостаткам метода Алмон относятся:

1) необходимо заранее  знать величину максимального  временного лага L, однако на практике  это невозможно. Определить величину  лага L можно с помощью вычисления показателей тесноты связи, например, линейных парных коэффициентов корреляции, между результативной переменной у и лаговым значением факторной переменной х. Если показатель тесноты связи является значимым, то данную переменную необходимо включить в модель с распределённым лагом. Порядок максимального значимого показателя тесноты связи принимается в качестве максимальной величины лага L;

2) порядок полиномиальной  функции Р также заранее неизвестен. При выборе порядка полинома обычно исходят из того, что на практике не используются полиномы более второго порядка, а выбранная степень полинома должна быть на единицу меньше числа экстремумов в структуре лага;

3) если между факторные переменные коррелируют друг с другом, то новые переменные

которые являются линейной комбинацией факторных переменных x, будут также коррелировать между собой. Поэтому проблема мультиколлинеарности в преобразованной модели (4) устранена не полностью. Однако мультиколлинеарность новых переменных zi в меньшей степени отражается на оценках неизвестных коэффициентов βi исходной модели (2), чем при использовании традиционного метода наименьших квадратов к данной модели.

Основным преимуществом метода Алмон является:

1) при относительно небольшом  количестве переменных в преобразованной  регрессионной модели (2) (P = 2 ,или  P=3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмона можно построить модели с распределенным лагом любой длины;

2) он достаточно является  универсальным и может быть  применен для моделирования процессов, характеризуется разнообразными  структурами лагов.

 

 

Список использованных источников

 

1. Валентинов В.А. Эконометрика: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашко и К»,2006-448с.
2. Катышев П. К., Магнус Я. Р., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. Москва, «Дело», 2009.
3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика, – М.: ЮНИТИ, 2009.
4. Кулинич Е. И. Эконометрия. Москва, «Финансы и статистика», 2011.
5. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. Москва, «Дело», 2011.
6. Мардас А. Н. Эконометрика. Краткий курс. Санкт – Петербург, «Питер», 2011.
7. Новиков А. И. Эконометрика, – М.: Инфра – М, 2009.
8. Основы эконометрики. Учебно-методическое пособие по курсу. Составитель Леванова Л. Н. – Саратов, 2009.
9. Сборник задач по эконометрике. Под редакцией Тихомирова И. П. «Экзамен», – М – 2010.
10. Эконометрика. Под ред. Член. – корр. И. И. Елисеевой. Москва, «Финансы и статистика», 2011.
11. Эконометрика: Учебник / И.И. Елисеева, С.В Курышева., Т.В Костеева и др.; Под ред. И. И. Елисеевой .– 2-е изд., перераб.и доп.-М.:  Финансы и статистика, 2006.:576