Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Эконометрика". 3

Кафедра статистики

Экономический факультет

Контрольная работа

по дисциплине: Эконометрика

Вариант №4

Выполнила студент II курса

Специальность: «Финансы и кредит»

заочная форма обучения сокращ.прогр.

Проверила: доц.

Москва 2011

Содержание

Задача 1.

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: X - денежные доходы населения, млрд. руб.; Х- доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб.; Х - численность безработных, млн. чел.; Х- официальный курс рубля по отношению к доллару США.

Таблица №1

Месяц	Y	X	Х	Х	Х
1	72,9	117,7	81,6	8,3	6,026
2	67,0	123,8	73,2	8,4	6,072
3	69,7	126,9	75,3	8,5	6,106
4	70,0	134,1	71,3	8,5	6,133
5	69,8	123,1	77,3	8,3	6,164
6	69,1	126,7	76,0	8,1	6,198
7	70,7	130,4	76,6	8,1	6,238
8	80,1	129,3	84,7	8,3	7,905
9	105,2	145,4	92,4	8,6	16,065
10	102,5	163,8	80,3	8,9	16,010
11	108,7	164,8	82,6	9,4	17,880
12	134,8	227,2	70,9	9,7	20,650
13	116,7	164,0	89,9	10,1	22,600
14	117,8	183,7	81,3	10,4	22,860
15	128,7	195,8	83,7	10,0	24,180
16	129,8	219,4	76,1	9,6	24,230
17	133,1	209,8	80,4	9,1	24,440
18	136,3	223,3	78,1	8,8	24,220
19	139,7	223,6	79,8	8,7	24,190
20	151,0	236,6	82,1	8,6	24,750
21	154,6	236,6	83,2	8,7	25,080
22	160,2	248,6	80,8	8,9	26,050
23	163,2	253,4	81,8	9,1	26,420
24	191,7	351,4	68,3	9,1	27,000

Задание:

Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарвина-Уотсона
Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессивном смысле. Можно ли объединить выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Решение:

1. Для заданного набора данных построим линейную модель множественной регрессии.

Y_х = а + b₁Х₁ + b₂Х₂ + b₃Х₃ + b₄Х₄ + e

Таблица №2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-63,12339216	24,03915584	-2,625857272	0,016639889	-113,4379235	-12,80886085
X1	0,495117715	0,036188344	13,68169026	2,74417E-11	0,41937464	0,570860789
X2	0,983476231	0,175264351	5,611387733	2,06783E-05	0,616643729	1,350308734
X3	-1,307234046	1,445807723	-0,904154837	0,377235119	-4,333344382	1,71887629
X4	1,087907312	0,291987593	3,725868289	0,001432703	0,476770258	1,699044365

Параметры модели рассчитаем методом наименьших квадратов:

а = - 63,12, b₁ = 0,5, b₂ = 0,98, b₃ = -1,31 и b₄ = 1,09

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y_х = - 63,12 + 0,5Х₁ + 0,98Х₂ – 1,31Х₃ + 1,09Х₄ + e

Оценим точность полученной модели. Вычислим парные коэффициенты корреляции используя формулу:

r_{yxi =}

Сводные результаты корреляционного анализа представим в таблице:

Таблица №3

X₁

X₂

X₃

X₄

X₁

X₂

X₃

X₄

0,967

0,048

0,469

0,947

- 0,191

0,384

0,862

0,184

0,209

0,646

Для оценки адекватности построенного уравнения регрессии заполним следующую таблицу:

Таблица №4

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997719294
R-квадрат	0,99544379
Нормированный R-квадрат	0,994484588
Стандартная ошибка	2,729949461
Наблюдения	24

Коэффициент множественной корреляции показывает, что факторы Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, объясняют вариацию признака Y на 99,8%, а необъясненные факторы 0,2%.

С помощью t-критерия Стьюдента оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии а, b₁, b₂, b₃ и b₄ :

Таблица №5

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-63,12339216	24,03915584	-2,625857272	0,016639889
X1	0,495117715	0,036188344	13,68169026	2,74417E-11
X2	0,983476231	0,175264351	5,611387733	2,06783E-05
X3	-1,307234046	1,445807723	-0,904154837	0,377235119
X4	1,087907312	0,291987593	3,725868289	0,001432703

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (24 – 4 – 1 = 19) составляет 2,09, условие выполняется для коэффициентов b₁, b₂и b₄ , значит они существенны (значимы), соответственно коэффициент b₃ не значим.

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F = *

F = * = 945

получили F > F_табл= 2,90 для a = 0,05; m₁= m = 4, m₂ = n – m – 1 = 19.

Поскольку F_рас > F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать адекватным.

2. Исключим несущественные факторы Х₃ и построим уравнение зависимости (балансовой прибыли) от объясняющих переменных Х₁, Х₂, и Х₄.

Построим уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Y = a + b₁X₁+ b₂X₂+ b₄X₄+ e

Методом наименьших квадратов найдем параметры модели:

а = - 80,81, b₁ = 0,51, b₂ = 1,06, b₄ = 0,90

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Y_х = - 80,81 + 0,51Х₁ + 1,06Х₂ + 0,90Х₄ + e

Таблица № 6

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997621047
R-квадрат	0,995247754
Нормированный R-квадрат	0,994534917
Стандартная ошибка	2,717465246
Наблюдения	24

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	30930,73724	10310,24575	1396,178737	2,16904E-23
Остаток	20	147,6923473	7,384617364
Итого	23	31078,42958

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-80,80788211	13,91182082	-5,808576977	1,10503E-05	-109,827432	-51,78833248
X1	0,514732775	0,028832194	17,85270937	9,33007E-14	0,454589873	0,574875677
X2	1,055202046	0,155568647	6,782870859	1,35061E-06	0,730691534	1,379712557
X4	0,896552042	0,200239952	4,477388412	0,000230607	0,478858822	1,314245261

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,995.

Коэффициент корреляции: r_ху = 0,997.

Остаточная сумма квадратов: С = 147,69

F =

F = = 945

получили F > F_табл= 3,10 для a = 0,05; m₁= m = 3, m₂ = n – m – 1 = 20.

Поскольку F_рас > F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать значимым.

Экономическая интерпретация параметров модели.

b₁ = 0,51, значит при увеличении только денежных доходов населения на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,51 млрд. руб.

b₂ = 1,06, значит при увеличении только доли доходов, используемых на покупку товаров и услуг, на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 1,06 млрд. руб.

b₄ = 0,9, значит при увеличении только официального курса рубля по отношению к доллару на 1 руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,9 млрд. руб.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

Х₁ 185,81

Э₁ = b₁ — = 0,51 * ———— = 0,83

Y 114,3

Х₂ 79,49

Э₂ = b₂ — = 1,06 * ——— = 0,74

Y 114,3

Х₄ 17,39

Э₄ = b₄ — = 0,9 * ——— = 0,14

Y 114,3

Они показывают, на сколько процентов изменяется зависимая переменная Y при изменении фактора Х_i на один процент.

3. Применим тест Голдфельда-Квандта для проверки гомоскедастичности остатков в полученной модели.

Упорядочим наблюдения в порядке возрастания переменной Х₁ и, исключив из рассмотрения 6 центральных наблюдения, разделим совокупность из оставшихся 18 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х₁). Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Проверка линейной регрессии на гомоскедастичность.

Таблица № 7

Уравнения регрессии	Х₁	Х₂	Х₄	Y	Ŷ	E	E²
Первая группа с первыми 9 месяцами Y = -23,13 + 0,23Х₁- 0,69Х₂+ 1,97Х₄ r = 0,997 F = 318,9	117,7	81,6	6,026	72,9	71,69	1,21	1,4748
	123,1	77,3	6,164	69,8	70,22	-0,42	0,1800
	123,8	73,2	6,072	67	67,38	-0,38	0,1438
	126,7	76	6,198	69,1	70,21	-1,11	1,2432
	126,9	75,3	6,106	69,7	69,60	0,10	0,0105
	129,3	84,7	7,905	80,1	80,15	-0,05	0,0029
	130,4	76,6	6,238	70,7	71,55	-0,85	0,7202
	134,1	71,3	6,133	70	68,53	1,47	2,1486
	145,4	92,4	16,065	105,2	105,16	0,04	0,0015
Сумма							5,93
Вторая группа с последними 9 месяцами Y = - 122,45 + 0,64Х₁+ 2,17Х₂– 2,17Х₄ r = 0,991 F = 97,5	219,4	76,1	24,23	129,8	130,90	-1,10	1,2003
	223,3	78,1	24,22	136,3	137,76	-1,46	2,1253
	223,6	79,8	24,19	139,7	141,70	-2,00	3,9894
	227,2	70,9	20,65	134,8	132,43	2,37	5,6191
	236,6	82,1	24,75	151	153,83	-2,83	7,9921
	236,6	83,2	25,08	154,6	155,49	-0,89	0,7963
	248,6	80,8	26,05	160,2	155,91	4,29	18,4012
	253,4	81,8	26,42	163,2	160,36	2,84	8,0601
	351,4	68,3	27	191,7	192,93	-1,23	1,5104
Сумма							49,69

Получаем R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R больше табличного значения F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е. не подтверждается гомоскедастичность остатков.

Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную таблицу:

Таблица №8

e_i	e_i-₁	(e_i - e_i-1)^2	(e_i)^2
1,790689805			3,20657
1,212351757	1,79069	0,334474898	1,469797
0,405921312	1,212352	0,650330062	0,164772
1,045605195	0,405921	0,40919547	1,09329
0,095870732	1,045605	0,901995551	0,009191
-1,4064696	0,095871	2,257026466	1,978157
-2,27200717	-1,40647	0,749155294	5,162017
-1,84562984	-2,27201	0,18179763	3,40635
-0,77494548	-1,84563	1,146365005	0,60054
-0,23304391	-0,77495	0,293657307	0,054309
1,829073393	-0,23304	4,252327772	3,345509
5,919066869	1,829073	16,72804664	35,03535
-1,1740676	5,919067	50,31255666	1,378435
-1,26067668	-1,17407	0,007501132	1,589306
-0,67087525	-1,26068	0,347865725	0,450074
-4,35852294	-0,67088	13,59874549	18,99672
-1,41641823	-4,35852	8,655980107	2,006241
-2,79134265	-1,41642	1,89041716	7,791594
-1,30987375	-2,79134	2,194750123	1,715769
0,551649133	-1,30987	3,465267431	0,304317
2,84153927	0,551649	5,243596841	8,074345
4,066646367	2,841539	1,500887399	16,53761
3,56552621	4,066646	0,251121412	12,71298
-3,81006694	3,565526	54,39937426	14,51661
	СУММА	169,7724358	141,5999

При проверке независимости уровней ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

d = 1,198959

По таблице критических точек распределения Дарбина–Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

В нашем случае модель содержит 3 объясняющие переменные (m=3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,10 и d_в = 1,66.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Таблица №9

Уравнения регрессии	Х₁	Х₂	Х₄	Y	Ŷ	E	E²
Первая группа с первыми 12 месяцами Y = - 68,82+0,52Х₁ + 0,87Х₂ - 1,08Х₃	117,7	81,6	6,026	72,9	70,17	-2,73	7,4513
	123,8	73,2	6,072	67	66,12	-0,88	0,7754
	126,9	75,3	6,106	69,7	69,60	-0,10	0,0095
	134,1	71,3	6,133	70	69,93	-0,07	0,0052
	123,1	77,3	6,164	69,8	69,41	-0,39	0,1501
	126,7	76	6,198	69,1	70,21	1,11	1,2213
	130,4	76,6	6,238	70,7	72,71	2,01	4,0254
	129,3	84,7	7,905	80,1	80,97	0,87	0,7499
	145,4	92,4	16,065	105,2	104,90	-0,30	0,0892
	163,8	80,3	16,01	102,5	103,97	1,47	2,1539
	164,8	82,6	17,88	108,7	108,51	-0,19	0,0362
	227,2	70,9	20,65	134,8	134,01	-0,79	0,6218
Сумма							17,29
Вторая группа с оставшимися 12 месяцами Y = - 180,51+0,48Х₁+ 1,48Х₂ + 3,88Х₃	164	89,9	22,6	116,7	118,64	1,94	3,7566
	183,7	81,3	22,86	117,8	116,28	-1,52	2,3051
	195,8	83,7	24,18	128,7	130,73	2,03	4,1131
	219,4	76,1	24,23	129,8	130,90	1,10	1,2075
	209,8	80,4	24,44	133,1	133,52	0,42	0,1723
	223,3	78,1	24,22	136,3	135,68	-0,62	0,3783
	223,6	79,8	24,19	139,7	138,23	-1,47	2,1529
	236,6	82,1	24,75	151	150,01	-0,99	0,9765

	236,6	83,2	25,08	154,6	152,92	-1,68	2,8117
	248,6	80,8	26,05	160,2	158,85	-1,35	1,8343
	253,4	81,8	26,42	163,2	164,05	0,85	0,7252
	351,4	68,3	27	191,7	192,99	1,29	1,6589
Сумма							22,09

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число степеней свободы составит 16

Остаточная сумма квадратов единого уравнения тренда: С = 147,69

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определим фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас= = = 11,0

Получили F_рас > F_табл = 3,01 значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2.

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:

lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε , R² = 0,875.

(2,43) (0,55) (0,09) F = 237,4

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.
Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.
Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Решение:

1. Коэффициент детерминации =0,875, показывает, что данная модель объясняет 87,5% вариацию ВНП, а необъясненные факторы – 12,5%.

Значимость коэффициентов модели b₀, b₁, b₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента:

t _b0 = -3,52 / 2,43 = -1,45

t _b1 = 1,53 / 0,55 = 2,78

t _b2 = 0,47 / 0,09 = 5,22

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости составляет 2,16. так как выполняется только для коэффициентов b₁ и b₂ , то коэффициенты модели b₁ и b₂ существенны (значимы).

Таким образом, целесообразно включение в модель обоих факторов (затраты капитала и затраты труда).

2. Запишем уравнение в степенной форме:

Y = е ^-3,52* К^1,53 * L^0,47* ε¹

Интерпретация параметров:

b ₁ = 1,53, значит при увеличении только затрат капитала на 1% ВНП в среднем увеличится на 1,5% (1,01^1,53 = 1,015);

b ₂ = 0,47, значит при увеличении только затрат труда на 1% ВНП вырастет в среднем на 0,5% (1,01^,47 = 1,005).

3. Прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда, это видно из интерпретации параметров.

Задача 3.

Структурная форма модели имеет вид:

где: C_t – совокупное потребление в период t,

Y_t – совокупный доход в период t,

I_t – инвестиции в период t,

Т_t – налоги в период t,

G_t – государственные расходы в период t,

Y_t-1 – совокупный доход в период t-1.

Задание:

Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.
Запишите приведенную форму модели.
Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

Решение:

1 уравнения – функция потребления

2 уравнения – функция инвестиций

3 уравнения – функция налога

4 уравнения – тождество дохода

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое уравнения системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

В модели четыре эндогенные переменные (С_t, I_t, T_t, Y_t) и две предопределенных переменных – одна экзогенная (G_t) и одна лаговая (Y_t-1). Последнее уравнение представляет собой тождество, поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентифицируемость.

1. Обозначим через Н число эндогенных переменных в уравнении системы и через D число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении системы.

1 уравнения

С_t = а₁ + b₁₁Y_t + b₁₂T_t + e₁

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы неидентифицируемо, ибо оно содержит Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие (D + 1 = Н), однако, не выполняется достаточное условие идентификации, ранг матрицы равен 2 < 3, что видно в следующей таблице:

Уравнения	I_t	G_t	Y_t-1
2	-1	0	b₂₁
3	0	0	0
4	1	1	0

2 уравнения

I_t = а₂ + b₂₁Y_t-1 + e₂

Второе уравнение системы сверхидентифицируемо: Н = 1 и D = 1, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Уравнения	С_t	Y_t	Т_t	G_t
1	-1	b₂₁	b₁₂	0
3	0	b₃₁	- 1	0
4	1	0	0	1

3 уравнения

T_t = а₃ + b₃₁Y_t + e₃

Третье уравнение системы также сверхидентифицируемо: Н = 2 и D = 2, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Уравнения	С_t	I_t	G_t	Y_t-1
1	-1	0	0	0
2	0	- 1	0	b₂₁
4	1	1	1	0

Таким образом, структурная модель неидентифицируема, поскольку в системе имеются неидентифицируемые уравнения.

Запишем приведенную форму модели.

С_t = δ₁ + δ₁₁ G_t + δ₁₂Y_t-1+ ζ₁

I_t = δ₂ + δ₂₁ G_t + δ₂₂Y_t-1+ ζ₂

T_t = δ₃ + δ₃₁ G_t + δ₃₂Y_t-1+ ζ₃

Y_t = δ₄ + δ₄₁ G_t + δ₄₂Y_t-1+ ζ₄

Метод оценки структурных параметров первого уравнения системы – метод максимального правдоподобия, а второго и третьего уравнений системы - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Контрольная работа по Эконометрика. 3 📙 Контрольная → 🆔 77193