Контрольная работа по "Эконометрика". 25

Санкт-Петербургский  Государственный Университет экономики  и финансов 

КАФЕДРА СТАТИСТИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ 
 
 

ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

Вариант 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Студент:   

Специальность:  Финансы и кредит

Группа:   

№ зачетной книжки:  
 
 
 
 
 
 

2011 
 

Задача  1

      По 10 предприятиям, выпускающим продукцию  «А», изучается зависимость себестоимости единицы продукции (у – ден.ед.) от объемов производства (х –тыс.ед.):

Задание

      1. Постройте поле корреляции зависимости себестоимости единицы продукции от выпуска продукции.

      2. Определите уравнение регрессии в виде равносторонней гиперболы: .

      3. Найдите индекс корреляции и сравните его с линейным коэффициентом корреляции.

      4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.

      5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.

      6. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом (дайте таблицу дисперсионного анализа результатов регрессии), а также его параметров. Сделайте выводы.

7. С вероятностью 0,95 оцените доверительный интервал для себестоимости единицы продукции при выпуске продукции в 20 тыс. единиц. 
 
 
 
 
 

Решение

      1. Построим поле корреляции зависимости себестоимости единицы продукции от выпуска продукции.

      Построение  поля корреляции производится по исходным данным о парах значений факторного и результативного признаков с соблюдением масштаба. На рис. 1 представлено поля корреляции, построенного в EXCEL в «Мастере диаграмм» (тип диаграммы – точечная).

Рис. 1. Поле корреляции 

      На  основе поля корреляции сделаем вывод о направлении и возможной функциональной форме взаимосвязей между факторными и результативными признаками. Зависимость обратная, нелинейная.

      2. Определим уравнение регрессии в виде равносторонней гиперболы: .

Составим  вспомогательную таблицу: 
 
 
 

      Рассчитаем  значения параметров регрессии:

       , .

       , .

       ,

       .

      Получено  уравнение: .

      3. Найдем индекс корреляции и сравним его с линейным коэффициентом корреляции.

      Линейный  коэффициент корреляции: .

      Индекс  корреляции: .

      Значит, значения линейного коэффициента корреляции и индекса корреляции совпадают, что указывает линейную зависимость и нелинейную сильную зависимость. 

      4. Найдем среднюю ошибку аппроксимации.

       . Данный результат указывает на допустимый предел значения, среднего отклонения расчетных значений от фактических.

      5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.

      Составим  вспомогательную таблицу:

      Коэффициент детерминации: .

       .

      Случайные ошибки параметров регрессии и коэффициента корреляции имеют значения:

       0,011; 0,196; 0,047.

      6. С вероятностью 0,95 оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров.

       (0,95,10)=4,96. 
 

      Так как  < , то уравнение регрессии статистически значимо и надежно.

      Оценим  значимость коэффициентов регрессии  и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента, проведя путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

       , , .

      Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики (t_табл=2,228) получим, что коэффициентов регрессии и корреляции статистически значимы и надежны.

      7. С вероятностью 0,95 оценим доверительный интервал для себестоимости единицы продукции при выпуске продукции в 20 тыс. единиц.

      Вычислим  среднюю стандартную ошибку прогноза: .

      Тогда, .

      Получим доверительный интервал: 5,645< <6,810. 

      Задача 2

      По 30 предприятиям региона изучается  зависимость потребления электроэнергии (у – тыс. квт. час) от численности занятых (x₁ – человек), объема производства продукции «А» (х₂ – тыс.единиц) и продукции «Б» (х₃ –тыс.единиц). Получены следующие результаты:

Задание

      1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

      2. Найдите множественный коэффициент корреляции и детерминации, в том числе скорректированный.

      3. Оцените значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделайте выводы.

      4. С помощью частных F-критериев оцените целесообразность включения каждого фактора последним.

      5. Оцените значимость коэффициентов регрессии по t-критерию Стьюдента.

      6. Для статистически значимых коэффициентов регрессии с вероятностью 0,95 найдите интервальную оценку. 

Решение

      1. Построим линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

      Построим линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе: .

      Определим коэффициенты из системы:

      Решим систему методом Крамера:

       , , , .

      Получим, , , .

      Получили  уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе: .

      Найдем  уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе: , где , , , .

      Получим уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе: .

      2. Найдем множественный коэффициент корреляции и детерминации, в том числе скорректированный.

      Множественный коэффициент корреляции равен: , коэффициент детерминации .

      Скорректированный коэффициент детерминации равен: .

      3. Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95.

       , F_табл=2,92.

      Так как F_табл< F_факт, уравнение регрессии статистически значимо и надежно.

      4. С помощью частных F-критериев оценим целесообразность включения каждого фактора последним.

       ,

       ,

       .

       – целесообразно включать фактор х₁ после факторов х₂ и х₃.

        – целесообразно включать  фактор х₂ после факторов х₁ и х₂.

        – целесообразно включать  фактор х₃ после факторов х₁ и х₂.

      5. Оцените значимость коэффициентов регрессии по t-критерию Стьюдента.

       , , .

       =2,05.

      Значит, все коэффициенты статистически  значимы и надежны.

      6. Для статистически значимых коэффициентов регрессии с вероятностью 0,95 найдем интервальную оценку.

      Все коэффициенты регрессии статистически значимы, найдем интервальную оценку для каждого коэффициента уравнения регрессии.

      Для b1: .

      Для b2: .

      Для b3: . 
 
 
 

Задача 3

      Рассматривается модель потребления мяса надушу населения  в регионе: 

      где

      у₁ – годовое потребление мяса надушу населения (кг),

      у₂ – цена за 1 кг мяса (руб.),

      х₁ – доход надушу населения (тыс. руб.).

      х₂ – годовое потребление рыбы на душу населения (кг),

      х₃ – цена за 1 кг рыбы (руб.).

      Приведенная форма модели имеет вид:

Задание

      1. Проведите идентификацию модели, используя счетное правило.

      2. Укажите способ оценки параметров каждого уравнения структурной модели.

      3. Найдите структурные коэффициенты для одного из уравнений системы, используя косвенный метод наименьших квадратов.

      4. Опишите методику оценки параметров другого уравнения структурной модели. 

      Решение 
 
 
 
 
 

Задача  4

      Динамика  оборота продовольственных товаров  в России в 2003 г. характеризуется следующими данными:

Задание

      1. Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.

      2. Определите параметры линейного уравнения тренда. Дайте интерпретацию параметров.

      3. С помощью критерия Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

      4. Дайте интервальный прогноз оборота продовольственных товаров на январь следующего года. 
 
 
 

Решение

      1. Определим коэффициент автокорреляции первого порядка и дадим его интерпретацию.

      Составим  вспомогательную таблицу:

      Получим, .

      Зависимость сильная, линейная, прямая между факторами.

      2. Определим параметры линейного уравнения тренда. Дадим интерпретацию параметров.

      Составим  вспомогательную таблицу для  расчета линейного уравнения  тренда:

      Рассчитаем  значения параметров уравнения тренда:

       , .

       , .

       ,

       .

      Получено  уравнение тренда: . Зависимость между параметрами прямая. Таким образом, с каждым месяцем продажа продовольственных товаров увеличивается.

      3. С помощью критерия Дарбина-Уотсона сделаем выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

      Составим  вспомогательную таблицу остатков.

      Рассчитаем  критерий Дарбина-Уотсона:

       . Фактическое значение d имеет нижнее значение равное 0,97 и верхнее значение 1,33. Полученное значение близко к верхнему значению, чем к 4. Поэтому, можно считать, что автокорреляция отсутствует и данное уравнение регрессии можно использовать для прогноза.

      4. Дадим интервальный прогноз оборота продовольственных товаров на январь следующего года.

      Точечный  прогноз имеет вид: млрд. руб. Найдем ошибку прогноза.

      Вычислим  среднюю стандартную ошибку прогноза: .

      Тогда, .

      Получим доверительный интервал: 180,186< <226,228. 
 
 
 

Задача  5

      Изучается зависимость индекса физического  объема ВВП (у_t – % к 1996 г.) от индекса физического объема инвестиций в основной капитал (х₁ – % к 1996 г.) по следующим данным:

      (в  % к 1996 г.)

      В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициенты детерминации (t = 1¸8):

      а) для индекса физического объема ВВП , R² =0,9206,