Контрольная работа по "Эконометрика". 8

Содержание

 

 

Задача 1.

 

По данным, представленным в таблице , изучается зависимость чистой прибыли предприятия (Y, млрд. долл.) от следующих переменных: Х1– оборот капитала, млрд. долл., Х2 – численность служащих, тыс. чел., Х3 – рыночная капитализация компании, млрд. руб.

таблица

№ п/п	Y	Х1	Х2	Х3
1	0,9	31,3	43	40,9
2	1,7	13,4	64,7	40,5
3	0,7	4,5	24	38,9
4	1,7	10	50,2	38,5
5	2,6	20	106	37,3
6	1,3	15	96,6	26,5
7	4,1	137,1	347	37
8	1,6	17,9	85,6	36,8
9	6,9	165,4	745	36,3
10	0,4	2	4,1	35,3
11	1,3	6,8	26,8	35,3
12	1,9	27,1	42,7	35
13	1,9	13,4	61,8	26,2
14	1,4	9,8	212	33,1
15	0,4	19,5	105	32,7
16	0,8	6,8	33,5	32,1
17	1,8	27	142	30,5
18	0,9	12,4	96	29,8
19	1,1	17,7	140	25,4
20	1,9	12,7	59,3	29,3
21	0,9	21,4	131	29,2
22	1,3	13,5	70,7	29,2
23	2	13,4	65,4	29,1
24	0,6	4,2	23,1	27,9
25	0,7	15,5	80,8	27,2

 

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
2. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.
5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным  наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

 

Решение

1. Построим линейную модель множественной регрессии.

 Рассчитаем с помощью Ms Excel:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9156
R-квадрат	0,8384
Нормированный R-квадрат	0,8153
Стандартная ошибка	0,5818
Наблюдения	25

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	36,867	12,289	36,311	1,71E-08
Остаток	21	7,1072	0,3384
Итого	24	43,974

 

	Коэфф-ты	Стандарт. ошибка	t- статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	0,0035	0,89	0,004	0,997	-1,847	1,854
Х1	0,0154	0,008	1,94	0,066	-0,001	0,032
Х2	0,0043	0,002	2,143	0,044	0,0001	0,0085
Х3	0,0226	0,027	0,838	0,411	-0,033	0,0787

Уравнение регрессии:  y = 0,0035 + 0,0154x1 + 0,0043x2 + 0,0226х3 .    

Оценим точность модели.

R2 = 0,8384, что свидетельствует о том, сто изменения зависимой переменной Y (чистой прибыли) в основном (на 83,84 %) можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных – X1, X2, X3. Такое значение свидетельствует об адекватности модели.

Стандартная ошибка параметров (среднеквадратичная ошибка)  с учетом округления показывает какое значение данной характеристики сформировалось под воздействием случайных факторов.

Точность модели – ее стандартная ошибка .

Адекватность модели проверим с помощью F-критерия.

Значение F–критерия Фишера составляет 36,31. Значимость F = 1,71Е-08, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 36,31 > 3.07, т.е. выполнено неравенство , а значит уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем. Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

 

2. Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели.

Критерий Стьюдента (t-статистика). Критическое значение при и равно .

Если t >1.721, то можно сделать вывод о существенности параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. Значимым являются параметры b1 и b2, величина b3 сформировались под воздействием случайных причин и фактор х3 можно исключить из рассмотрения.

Исключим из модели самый незначимый фактор .

Исключаем фактор Х3 - рыночная капитализация компании (млрд. руб.) Строим новую модель с оставшимися факторами:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,912673
R-квадрат	0,832971
Нормированный R-квадрат	0,817787
Стандартная ошибка	0,577809
Наблюдения	25

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	36,62941	18,31471	54,85692	2,82E-09
Остаток	22	7,344989	0,333863
Итого	24	43,9744

 

	Коэфф-ты	Стандарт. ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	0,7390	0,14702	5,02676	4,94E-05	0,4341	1,04393
Х1	0,0178	0,00740	2,40392	0,02508	0,00244	0,03314
Х2	0,0038	0,00192	2,00185	0,05778	-0,0001	0,00782

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Оценим точность и адекватность модели.

Значение R2 = 0,833 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной Y  (чистой прибыли) по-прежнему в основном (на 83,3 %) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих – X1 и Х2. Это свидетельствует об адекватности модели.

Значение поправленного коэффициента детерминации (0,818) возросло по сравнению с первой моделью, в которую были включены все объясняющие переменные (0,815).

Стандартная ошибка регрессии во втором случае меньше, чем в первом (0.578 < 0,582).

Расчетное значение F–критерия Фишера составляет 54,86. Значимость F = 2,82Е-09, что меньше 0.05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

Критическое значение при и равно .

Значимыми являются оба параметра b1 и b2 т. к.  t > 1.717.

Рассмотрим теперь экономическую интерпретацию параметров модели.

Коэффициент b1 = 0,0178, означает, что при увеличении только оборота капитала (X1) на 1 млрд. долл. чистая прибыль предприятия в среднем возрастет на 0,0178 млрд. долл. А при увеличении только численности служащих (X2) на 1  тыс. чел. чистая прибыль предприятия в среднем возрастет на 0,0038 млрд. долл.

 

3. Применим тест Голдфельда-Квандта по переменной

Алгоритм применения теста Голдфельда-Квандта:

• данные упорядочиваются в порядке возрастания той независимой переменной, относительно которой есть предположения о гетероскедастичности (как правило, это показатель с наименьшим tнабл).
• разделить исходную выборку на три части (выборки).
• исключить центральную часть (с) объемом ориентировочно (1/3) объема первоначальной выборки, при этом необходимо, чтобы (n - с)/2>К, где К – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии.
• найти значения сумм квадратов остатков (SS) для каждого уравнения регрессии и по ним определить Fф=SS2/SS1. При этом необходимо, чтобы выполнялось условие SS2>SS1.
• используя F-распределение Фишера сравнить полученное значение Fф с критическим значением, соответствующим выбранному уровню значимости. При Fф >Fкр гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена.

 

Разделим выборку на 3 части, исключив центральную:

Y	Х1	Х2		Y	Х1	Х2
0,4	2	4,1		1,3	15	96,6
0,6	4,2	23,1		0,4	19,5	105
0,7	4,5	24		2,6	20	106
1,3	6,8	26,8		0,9	21,4	131
0,8	6,8	33,5		1,1	17,7	140
1,9	27,1	42,7		1,8	27	142
0,9	31,3	43		1,4	9,8	212
1,7	10	50,2		4,1	137,1	347
-	-	-		6,9	165,4	745

 

По первой выборке получаем:

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,193738	0,596869	3,53172	0,110598
Остаток	5	0,845012	0,169002
Итого	7	2,03875

 

По второй выборке получаем:

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	30,49511	15,24756	29,89284	0,000759
Остаток	6	3,060443	0,510074
Итого	8	33,55556

 

Определим фактическое значение F-критерия Фишера:  

Следовательно,                 .

Критическое значение

Так как расчетное значение меньше критического, то переменная является гомоскедастичной.

 

 

4. Проверим модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

Проведем анализ остатков:

№
1	-0,56117			0,31491
2	0,473922	1,035093	1,07142	0,2246
3	-0,21132	-0,685244	0,46956	0,04466
4	0,590137	0,8014595	0,64234	0,34826
5	1,097783	0,5076457	0,2577	1,20513
6	-0,07713	-1,174916	1,38043	0,00595
7	-0,41183	-0,334693	0,11202	0,1696
8	0,213541	0,6253669	0,39108	0,0456
9	0,355197	0,1416566	0,02007	0,12616
10	-0,39037	-0,745566	0,55587	0,15239
11	0,336995	0,7273641	0,52906	0,11357
12	0,514709	0,1777143	0,03158	0,26493
13	0,685066	0,1703566	0,02902	0,46932
14	-0,32808	-1,013143	1,02646	0,10763
15	-1,08948	-0,761401	0,57973	1,18696
16	-0,18875	0,9007263	0,81131	0,03563
17	0,034894	0,2236458	0,05002	0,00122
18	-0,42857	-0,463461	0,2148	0,18367
19	-0,49195	-0,063385	0,00402	0,24202
20	0,707128	1,1990795	1,43779	0,50003
21	-0,7232	-1,430326	2,04583	0,52302
22	0,049085	0,7722832	0,59642	0,00241
23	0,771232	0,7221463	0,5215	0,5948
24	-0,30253	-1,073758	1,15296	0,09152
25	-0,62531	-0,322786	0,10419	0,39102
Сумма			14,0352	7,34499

 

Находим

По таблице критических точек распределение Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости α, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных т определить два значения: dH – нижняя граница и dB – верхняя граница (таблица).

Статистика Дарбина-Уотсона, уровень значимости 0,05
т	1		2		3		4		5
п	dн	dв	dн	dв	dн	dв	dн	dв	dн	dв
20	1,20	1,41	1,1	1,54	1,00	1,67	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,66	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,90
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89

 

Критические уровни - и

Так как d находится в пределах , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается).

 

5.  Для проверки  предположения об однородности  исходных данных в регрессионном  смысле применим тест Чоу.

В соответствии со схемой теста построим уравнения регрессии по первым наблюдениям n1 = 12 наблюдениям:

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	33,38968	16,69484	72,25513	2,86E-06
Остаток	9	2,079486	0,231054
Итого	11	35,46917

 

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по оставшимся   n2 = 13 наблюдениям:

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	0,098165	0,049082	0,139002	0,871879
Остаток	10	3,531066	0,353107
Итого	12	3,629231

 

  

Результаты регрессионного и дисперсионного анализа модели, построенной по всем n = n1 + n2 = 25 наблюдениям  ( ):

Рассчитаем статистику F по формуле:

 

Так как расчетное значение меньше критического то справедлива гипотеза Н0, т.е. надо использовать единую модель по всем наблюдениям.

 

Задача 2.

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.
2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.
3. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

 

Решение

lgY = lgc + α lgK+ β lgL.

Обозначим:   lgY = y,  lgc = b0,  α  = b1, β  = b2, lgK = x1,  lgL = x2,

Получили эконометрическую модель, которая специфицирована в линейной форме:   y = - 0.15 + 0.35x1 + 0.72x2 + e

 

1. Оценим значимость  коэффициентов модели по t-критерию  Стьюдента.

Расчетное значение t-критерия:   

где:  -   коэффициент регрессии при ;

-   стандартная ошибка коэффициента регрессии .

                 

F-критерий Фишера:     ,

Найдем число наблюдений:

Следовательно

Если  t bi > 2.093, то можно сделать вывод о существенности параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. Значимыми являются  оба параметра  х1 и х2 .

 

2. Уравнение в  степенной форме имеет вид:

Коэффициенты регрессии характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Это означает, что с увеличением только затрат капитала на 1% объем производства возрастает на 35 %, а с увеличением только затрат труда на 1% объем производства возрастает на 72 % .

3. Эффект от  масштаба производства.

Показатели α и β являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала K и труда L.

α =0.35

β =0.72

α + β = 0.35 + 0.72 = 1.07  - т.к. сумма превышает единицу, функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если K и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в большей пропорции).

 

Задача 3.

 

Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

Задание:

1. Выберите метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор обоснуйте.
2. Определите возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

 

Решение

1. В полном виде структурная модель содержит 11 структурных коэффициентов, а приведенная модель - 12. Число приведенных  коэффициентов  больше числа структурных  коэффициентов, следовательно, модель сверхидентифицируема.

Модель имеет три эндогенные (у1, у2, у3) и три экзогенные (х1, х2, х3) переменные. 

Проверим каждое  уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

1.

D = 1 (х3), H = 2 (у1, у2)   D + 1 = H   -  уравнение идентифицируемо

 

Отсутствует у3 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы

 

уравнение	Отсутствующие переменные
	у3	х3
2	0
3	-1
Det A = 0·b33 - (-1)·b23 ¹ 0

 

Определитель матрицы не равен 0 ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

2.

D = 1 (х1), H = 2 (у1, у2)   D + 1 = H   -  уравнение идентифицируемо

Отсутствует  у3  и  х1. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы

уравнение	Отсутствующие переменные
	у3	х1
1	0
3	-1	0
Det A = 0·0 - (-1)·a23 ¹ 0

 

Определитель матрицы не равен 0 ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

3.

D = 2 (х1, х2), H = 2 (у1, у3)   D + 1 > H   -  уравнение сверхидентифицируемо.