Контрольная работа по "Эконометрика". 22

По некоторым  территориям России известны данные, приведенные в табл. 

Задание:

1. Построить поле корреляции и сформировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений парных регрессий: линейной, степенной, логарифмической, показательной.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Оценить с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значению характеристик рассчитать и выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличивается на  (2+5)% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0.05
6. Оценить полученные результаты и оформить выводы в аналитической записке.

Решение:

Ноль-гипотеза- связь между рядами является случайной.

В соответствии с решением задачи строим поле корреляции:

Корреляционное  поле, построенное по данным таблицы, позволяет предположить наличие  линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Система нормальных уравнений для данного  решения имеет вид:

a+b*x _ср.=y _ср.

a*x+b*x²=yx

где а= y-bx

b=(yx _ср -y _ср *x _ср)/(x _ср ²-x² _ср)= cov (x,y)/ var(x)

Данные  о расположении величин:

X _ср =668.7857143

y _ср =315.7857143

x _ср ²=454624.2143

y _ср x _ср =211207 

Значение  коэффициента b:

cov (x,y)= 211207-315.7857143*668.7857143=14.0255102

var(x)= 454624.2143-668.7857143=453955.4286

b= 14.0255102/454624.2143=3.08962

отсюда, а= 315.7857143+3.08962E-05*668.7857143=315.8063772

Следовательно, уравнение регрессии будет выглядеть  следующим образом: y = 315.8063772-3.08962*x

Подставляем в уравнение значения х и получаем расчетные значения результативного признака y.

Рассчитать  параметры уравнений парных регрессий: линейной, степенной, логарифмической, показательной.

Линейной.

На основании  данных таблицы определенно, что  cov (x,y)= 211207-668.7857143*315.7857143=14.0255102

var(x)= 7349.882653

b=14.0255102/ 7349.882653=0.001908263

a= y-b*x= 314.5094952

y= 314.5094952 -0.001908263*x

Cстепенная.

В= (7.04956-211207*454624.214)/( 7.965103512-454624.214*454624.214)= -0.004908961

а*=211207+0.004908961*454624.214=2.51219707

а=10^а*   =10 ^2.51219707 =325.2348457 

Уравнение линейной регрессии будет иметь  вид: y= 325.2348457 *x^-0.004909 
 

Логарифмическая

B= (891.0195155-668.7857143*2.8216966)/( 2.49834547-2.8216966*2.8216966)= -10.20833234 

A= y-b*x=344.5905312 

Уравнение логарифмической регрессии будет иметь вид: 344.590531-10.208*ℓg x. 

Показательная

Оценить тесноту связи с помощью показателей  корреляции и детерминации

Коэффициент корреляции выражается формулой: r_ух = cov (x, y)/σ_х *σ_y 

σ_х = = Ö454624.214-720.2307692*720.2307692= 85.73146

σ_y = =Ö100212.6-315.7857143*315.7857143= 22.18165

значение  cov (x, y)= 211207-315.7857143*668.7857143=14.02551

r_{yx =}14.02551/ 85.73146*22.18165=0.007375

Находим это же значение по другой формуле:

r_yx= 0.001908263*(85.73146/22.18165)= 0.007375 

     Величина  коэффициента линейного коэффициента корреляции составляет 0,007375, что показывает наличие слабой зависимости коэффициентов.

     Для логарифмической регрессии значение коэффициента корреляции, будет равно 0,007530.

     Коэффициент корреляции этой регрессии выше, чем  коэффициент корреляции линейной регрессии. Значит логарифмическая регрессия  больше подходит под описание взаимодействия y и x.

Определим значение индекса корреляции для  степенной регрессии: 0,007856

     Индекс  свидетельствует о функциональной связи факторов.

     Коэффициент детерминации:

 Для  линейной регрессии: R² =  0.007375²    =    0.0000543963

     Следовательно, уравнение регрессии объясняет 0,0054 % дисперсии результатирующего признака.  Остальные 99,999945 %  приходятся на долю прочих факторов.

Для логарифмической  регрессии: 0.00567% , 99,999943 % на долю других факторов.

     Для степенной: 0,006171 %

     В данном случае имеет смысл выбрать степенную регрессию, т.к. она объясняет большую долю вариаций.

     Оценка  значимости результативного признака по уравнению регрессии:

     Для линейной регрессии:

y= 314.5094952 -0.001908263*x

Средняя квадратическая ошибка уравнения: S_e =   1.081107079

     Сравнивая S_e  и  σ_y , можно определить что использовать уравнение регрессии целесообразно.

     Доверительные границы результативного признака:

     При х₀ = 668.7857143   С _х0 = 

2,179*1.081107079/Ö12 *  

     Оценка  статистической надежности результатов:

Для линейной регрессии: F= 0.0000543963/(1-0.0000543963)*(14-2)= 0.000652791

Для логарифмической  регрессии: (0.0000567009/(1-0.0000567009)*(14-2)= 0.000680449

Для степенной регрессии: 0.000740647

     F табличное= 4,75

       Все три полученных уравнения  не являются статистически значимыми.

     F факт á F табл., что гипотеза об отсутствии связи не отклоняется.

tфакт.= Ö F факт = 0.027214831

     t табл.=2,179

     tфакт. < t табл., т.е с учетом рассмотренных и проанализированных результатов, можно сделать вывод о том, что исследуемые переменные не связанны между собой, т.е. независимы друг от друга.

     Гипотеза  подтверждена.