Контрольная работа по "Эконометрика". 20

Содержание

 

 

 

 

 

Задача №1

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (таблица 1):

 

Таблица 1

Данные по территориям  Центрального района за 1995 г.

Район	Средний размер назначенных  ежемесячных пенсий, тыс. руб., у	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., х
Брянская область	225	178
Владимирская область	216	202
Ивановская область	218	197
Калужская область	217	201
Костромская область	220	189
г. Москва	256	302
Московская область	220	215
Орловская область	232	166
Рязанская область	215	199
Смоленская область	226	180
Тверская область	222	181
Тульская область	224	186
Ярославская область	241	250

 

 

Задание:

 

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений регрессии линейной, степенной, показательной и равносторонней гиперболы.
3.    Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную    оценку силы связи фактора с результатом.
5.    Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

 

 

 

 

Решение:

1.  Построим поле корреляции по заданным параметрам и сформулируем гипотезу о форме связи.

Рис. 1. Поле корреляции

 

Вывод: по полю корреляции невозможно сделать однозначных выводов по форме и направлению связи, так как форма связи между прожиточным минимумом в среднем на одного пенсионера и средним размером назначенных ежемесячных пенсий меняется.

 

2.1. Рассчитаем параметры уравнения линейной регрессии:

Линейное уравнение  регрессии:

                                                                            ,                                                                   (1)       

a и b – параметры линейного уравнения они находятся по формулам:

                                                             

                                                                  (2)

                                                                             

                                                                   (3)

                                                              

                                                                     (4)

Для расчетов параметров уравнения линейной регрессии построим расчетную таблицу:

Таблица 2

Линейная регрессия

Подставив все найденные параметры, найдем а и b:

;

;

;

.

Получено линейное уравнение  регрессии: .

Вывод: с увеличением прожиточного минимума на одного пенсионера (х) на 1 рубль, средний размер назначенных ежемесячных пенсий (у) возрастает в среднем на 0,238 руб.

2.2. Оценим тесноту связи между х и у с помощью показателей корреляции и детерминации.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

.

Вывод: связь между показателями сильная и прямая.

Определим коэффициент  детерминации:

.

Вывод: 54,9% вариации назначенных ежемесячных пенсий (у) объясняется вариацией фактора х – прожиточного минимума, а остальные 45,1 % другими факторами, не включенными в данное уравнение регрессии.

2.3. Определим коэффициент эластичности:

.

Вывод: при увеличении прожиточного минимума (х) на 1%, средний размер назначенных ежемесячных пенсий (у) увеличится на 0,215% от средней величины.

2.4. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические значения y_x (таблица 2). Рассчитаем ошибку аппроксимации и оценим качество уравнения:

%.

Вывод: уравнение регрессии  качественное. В среднем расчетные  значения отклоняются от фактических  на 2,9%.

2.5. Рассчитаем F-критерий Фишера:

, где

n – количество исходных данных.

.

Вывод: поскольку F_факт > F_табл, то уравнение регрессии является статистически значимым.

3.1. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

.

Заменим lg параметрами:

,

где: Y = lg y,

X = lg x,

C = lg a.

Для расчетов используем данные таблицы 3:

 

Таблица 3

Степенная модель

Рассчитаем С и b:

;

.

Получим линейное уравнение:

.

Выполнив его потенцирование, получим:

 

 

3.2. Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата (Таблица 3). По ним рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции:

 

.

Вывод: связь сильная.

Определим коэффициент детерминации:

.

Вывод: 48,6% вариации назначенных ежемесячных пенсий (у) объясняется вариацией фактора х – прожиточного минимума, а остальные 51,4 % другими факторами, не включенными в данное уравнение регрессии.

3.3. Рассчитаем коэффициент эластичности. В степенной функции .

Вывод: с увеличением прожиточного минимума на 1% от средней величины, средний размер ежемесячных пенсий увеличивается на 0,21 %.

3.4. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации и оценим качество уравнения:

%.

Вывод: степенное уравнение  регрессии качественное.

3.5. Рассчитаем F-критерий Фишера:

;

.

Вывод: поскольку F_факт > F_табл, то уравнение регрессии является статистически значимым.

4.1. Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Заменим lg параметрами:

где:  Y = lg y,

C = lg a,

B = lg b.

Для расчета используем данные таблицы 4:

 

 

 

 

 

 

Таблица 4

Показательная кривая

 

;

.

Получено линейное уравнение:

.

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем  его в обычной форме:

 

4.2. Тесноту связи оценим через индекс корреляции:

 

.

Вывод: связь очень тесная.

Определим коэффициент  детерминации:

.

Вывод: 53,9 % вариации назначенных ежемесячных пенсий (у) определяются изменчивостью фактора x - прожиточного минимума, а остальные 46,1 % другими факторами, не включенными в данное уравнение регрессии.

  4.3. Определим средний коэффициент эластичности:

ln 1,0009×203,54=0,18%.

Вывод: при изменении прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц (х) от средней величины на 1%, средний размер ежемесячных пенсий (у) увеличивается на 0,18%.

4.4. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации и оценим качество уравнения:

.

Вывод: уравнении регрессии качественное.

4.5. Рассчитаем F-критерий Фишера:

;

.

Вывод: поскольку F_{факт >} F_табл, то уравнение регрессии является статистически значимым.

5.1. Найдем параметры уравнения равносторонней гиперболы:

.

Уравнение линеаризуется при замене ,

получим .

Для расчета используем данные таблицы 5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

Модель равносторонней гиперболы

Подставив найденные параметры, найдем a и b:

 

;

.

Получим уравнение:

5.2. Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата (Таблица 5). По ним рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции:

 

.

Вывод: связь сильная.

5.3. Определим коэффициент детерминации:

.

Вывод: 28 % вариации назначенных ежемесячных пенсий (у) определяются изменчивостью фактора x - прожиточного минимума, а остальные 72 % другими факторами, не включенными в данное уравнение регрессии.

5.4. Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

%.

Вывод: с увеличением прожиточного минимума на 1% от средней величины, средний размер ежемесячных пенсий увеличивается на 0,11 %.

5.5. Рассчитаем ошибку аппроксимации и оценим качество уравнения:

.

Вывод: уравнение регрессии  качественное.

5.6. Рассчитаем F-критерий Фишера:

;

.

Вывод: поскольку F_{факт <} F_табл, то уравнение регрессии не является статистически значимым.

6. Выберем лучшее уравнение регрессии по данным таблицы 6:

Таблица 6

Таблица результатов

	Уравнение	Коэффициент эластичности	Ошибка аппроксимации	F-критерий Фишера
1	Линейная регрессия	0,215	2,9%	13,39
2	Степенная модель	0,2136	3,1%	10,40
3	Показательная кривая	0,18	2,9%	12,86
4	Равносторонняя гипербола	0,11	3,3%	4,28
		max = 0,215	min = 2,9%	max = 13,39

 

Наилучшим уравнением регрессии  по всем показателям является линейное, следовательно, прогнозирование будем  проводить по линейному уравнению.

7. Рассчитаем прогнозное значение у, если прогнозное значение фактора х увеличится на 10% от среднего уровня. Определим доверительный интервал прогноза при уровне .

Если прогнозное значение прожиточного минимума в среднем  на одного пенсионера составит:

тыс. руб.,

тогда прогнозное значение среднего размера назначенных ежемесячных  пенсий составит:

тыс. руб.

Ошибка прогноза составит:

;

;

;

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет  превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза составит:

;

Вывод: с вероятностью 95% прогнозное значение среднего размера назначенных ежемесячных пенсий (у) будет меняться в пределах от 215,03 до 245,73,  при увеличении прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц на 10% по сравнению со средней величиной.

 

Задача №2

По 35 территориям  России имеются следующие данные (таблица 1):

Таблица 1

Данные по 35 территориям России

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Линейный коэффициент парной корреляции
Потребление материалов, у	91,2	9,86	--
Объем произведенной  продукции, x1	53,7	4,96	rух1 = 0,8625
Энерговооруженность труда, x2	32,3	1,11	rух2 = -0,2403 rх1х2 = -0,1315

 

Задание:

1. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с b₁ и b₂ , пояснить различия между ними.
2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.
3. Рассчитать общий и частные F -критерии Фишера.

 

Решение:

 

1. Построим уравнение множественной регрессии  в стандартизованной и естественной форме:

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение  в стандартизованном масштабе:

Расчет β – коэффициентов выполним по формулам:

;

.

 

Получим уравнение: .

> - объем произведенной продукции оказывает более сильное влияние на потребление материалов, чем энерговооруженность труда.

Для построения уравнения  в естественной форме рассчитаем b₁ и b_2, используя формулы для перехода β_i к b_i:

;

 

;

.

Значение а определим из соотношения:

.

Следовательно, уравнение  в естественной форме будет выглядеть  следующим образом:

.

Для характеристики относительной  силы влияния x₁ и x₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

;

.

Вывод: С увеличением объема произведенной продукции x₁ на 1% от ее среднего уровня потребления материалов y возрастет на 0,99% от своего среднего уровня; при увеличении энерговооруженности труда x₂ на 1% потребление материалов y снижается на 0,41% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния объема произведенной продукции x₁ на потребление материалов y оказалась большей, чем сила влияния энерговооруженности труда x₂. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений b₁ и b₂:

Различия в силе влияния  фактора на результат, полученные при  сравнении  и , объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: , а - коэффициент – из соотношения средних квадратических отклонений .

2. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитываются по рекуррентной формуле:

 

;

  ;

              .

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи ( ) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основании коэффициентов парной и частичной корреляции совпадают:

 

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

;

.

Зависимость  y от x₁ и x₂ характеризуется как тесная, в которой 76% вариации потребления материалов определяются вариацией учтенных в модели факторов: объемов произведенной продукции и энерговооруженности труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 24% от общей вариации y.

3. Общий F – критерий проверяет гипотезу H₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи ( ).

; .

Сравнивая и , приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу H_0, так как . С вероятностью 1 – = 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x₁ и x_2.

Частные F – критерии - и оценивают статистическую значимость присутствия факторов и в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е. оценивает целесообразность включения в уравнение фактора x₁  после того, как в него был включен фактор x₂. Соответственно указывает на целесообразность включения в модель фактора x₂ после фактора x₁:

; .

Сравнивая и , приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора x₁ после фактора x₂ , так как . Гипотезу H₀ о несущественности прироста за счет включения дополнительного фактора x₁ отклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора x₁ после фактора x₂.

Целесообразность включения  в модель фактора x₂ после фактора x₁ , проверяет :

.

Значение свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора x₂ после фактора x₁. Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H₀ о нецелесообразности включения в модель фактора x₂ (энерговооруженность труда). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости потребления материалов от объема произведенной продукции является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор x₂ (энерговооруженность труда).

 

 

Список использованной литературы

1. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: учеб. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев,

 А. А. Пересецкий. – изд.3-е, перераб. и доп. – М. : Дело, 2000. – 400 с.

 

2. Елисеева, И. И. Практикум по эконометрике: учебн. пособие / И. И.Елисеева, С. В. Куртышева, и др. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 192 с.