Контрольная работа по "Эконометрика". 23

Задача №1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб) от объема капиталовложений (Х, млн. руб).

Требуется:

1.   Для характеристики У от Х построить следующие модели:

        линейную,

        степенную,

        показательную,

        гиперболическую.

2.   Оценить каждую модель, определив:

             индекс корреляции,

             среднюю относительную ошибку,

             коэффициент детерминации,

             F – критерий Фишера.

3.   Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4.   Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.

5.   Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

Построение линейной модели парной регрессии.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

Уравнение регрессии имеет вид: .

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 790 тыс. руб. Это свидетельствует о эффективности работы предприятий.

Таблица 1.1

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 97,1% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

;

FFтабл = 6,61 для =0,05; k1 = m = 1, k2 = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F Fтабл.

Определим среднюю ошибку:

.

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,74%.

Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a +b lg x. данные приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Обозначим Y = lg , X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,8504 + 0,5593X.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии: = 7,086  x0,559.

Определим индекс корреляции:

связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,97:

Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 97% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F Fтабл = 6,61 для  = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n –m –1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F Fтабл.

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 2,55%.

Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим:  .

Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Bx.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.4.

Таблица 1.4

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации: R2 = = 0,942 = 0,8836.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 88,36% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F Fтабл = 6,61 для  = 0,05; k1=m=1, k2 = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F Fтабл.

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для показательной функции отличаются от фактических на 2,59%.

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции:

Произведем линеаризацию модели путем замены X=. В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 1.5.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:.

Определим индекс детерминации: R2 = = 0,9592 = 0,92.

Таблица 1. 5.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,6% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

F Fтабл= 6,61 для  = 0,05; k1=m=1, k2 = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F Fтабл.

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,64%.

Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 1.6.

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F-критерия Фишера  и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет линейная модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Расчет прогнозного значения результативного показателя

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определяется по уравнению линейной модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений – увеличенное на 110% среднее значение –37,86*110%=41,65:

(млн руб.).

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отображаются на графике.

рис. 1.1