Контрольная работа по "Эконометрика". 11

    Задача 1.

    По  территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

    Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной  территории (Краснодарский  край) с аномальными  значениями признаков. Эта территория исключена  из дальнейшего анализа. Значения показателей  в итоговых строках  приведены без учета указанной аномальной единицы.

    Задание:

    1) Расположите территории  по возрастанию  фактора Х. Сформулируйте  рабочую гипотезу  о возможной связи  Х и Y.

    2) Постройте поле  корреляции и сформулируйте  гипотезу о возможной  форме связи.

    3) Рассчитайте параметры и парной линейной функции и линейно-логарифмической функции .

    4) Оцените тесноту  связи с помощью  показателей корреляции ( и ) и детерминации ( и ), проанализируйте их значения.

    5) Надежность уравнения  в целом оцените  через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

    6) На основе оценочных  характеристик выберите  лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

    7) По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата , по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - , оцените ее величину.

    8) Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора составит 1,062 от среднего уровня .

    9) Рассчитайте интегральную  и предельную ошибки прогноза (для ) определите доверительный интервал прогноза , а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала , оценив точность выполненного прогноза 

    Расположим  территории по возрастанию фактора Х (инвестиций в основной капитал).

    Из  графика может быть сделан вывод о возможной связи объема инвестиций в основной капитал с валовым региональным продуктом

    Рассчитаем параметры и парной линейной функции  
 
 
 
 
 
 
 

                                          Расчетная таблица: 
 
 

    Теоретическое уравнение регрессии имеет вид:

    Свободный член уравнения  оценивает влияние прочих факторов, оказывающих влияние на объем валового регионального продукта.

    Коэффициент регрессии  означает, что при увеличении объема инвестиций в основной капитал 1 млрд. руб. от своей средней объем валового регионального продукта возрастает на 3,016 млрд. руб. от своей средней.

    Относительную оценку силы связи дает коэффициент  эластичности:

    Это означает, что при увеличении объема инвестиций в основной капитал  на 1 % от своей средней объем валового регионального продукта увеличится на 0,092 % от своей средней.

    Для оценки тесноты связи рассчитываем линейный коэффициент парной корреляции:

    Коэффициент парной корреляции равный 0,8892 показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между объемом инвестиций в основной капитал и объемом валового регионального продукта.

    Коэффициент детерминации равный 0,7907 устанавливает, что вариация объема валового регионального продукта на 79,1 % из 100 % предопределена вариацией объема инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на объем валового регионального продукта определяется в 20,9 %.

    Для оценки статистической надежности выявленной зависимости объема валового регионального продукта от объема инвестиций в основной капитал рассчитаем значение F-критерия Фишера- и сравним его с табличным значением . По результатам сравнения примем решение по нулевой гипотезе , то есть либо примем, либо отклоним ее с уровнем значимости a=0,05

    Полученное  значение критерия показывает, что  факторная вариация результата в 34 раза больше остаточной вариации сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия объема инвестиций в основной капитал и объема валового регионального продукта. =5,12 при степенях свободы и уровне значимости a=0,05. В силу того, что (34,00>5,12) нулевую гипотезу о статистической не значимости выявленной зависимости и ее параметрах можно отклонить с 5%-ой вероятностью допустить ошибку.

    Определим теоретические значения результата:

      и т.д.

    Оценку  качества модели дадим с помощью  средней ошибки аппроксимации:

     =35,03 % .

    В данном случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 35,03 %. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора Х (относительно его среднего значения ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Зависимость валового регионального  продукта от объема инвестиций в основной капитал

    Построение  логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры  линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введем новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчетные приемы, основанные на значениях определителей второго порядка. 

    Теоретическое уравнение регрессии имеет вид:

    Свободный член уравнения  оценивает влияние прочих факторов, оказывающих влияние на объем валового регионального продукта.

    Коэффициент регрессии  означает, что при увеличении объема инвестиций в основной капитал 1 млрд. руб. от своей средней объем валового регионального продукта возрастает на 14,632 млрд. руб. от своей средней.

    Относительную оценку силы связи дает коэффициент  эластичности:

    Это означает, что при увеличении объема инвестиций в основной капитал  на 1 % от своей средней объем валового регионального продукта увеличится на 0,087 % от своей средней.

    Для оценки тесноты связи рассчитываем линейный коэффициент парной корреляции:

    Коэффициент парной корреляции равный 0,7834 показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между объемом инвестиций в основной капитал и объемом валового регионального продукта.

    Коэффициент детерминации равный 0,6138 устанавливает, что вариация объема валового регионального продукта на 61,4 % из 100 % предопределена вариацией объема инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на объем валового регионального продукта определяется в 38,6 %.

    Для оценки статистической надежности выявленной зависимости объема валового регионального продукта от объема инвестиций в основной капитал рассчитаем значение  F-критерия Фишера- и сравним его с табличным значением . По результатам сравнения примем решение по нулевой гипотезе , то есть либо примем, либо отклоним ее с уровнем значимости a=0,05

    Полученное  значение критерия показывает, что  факторная вариация результата в 14 раза больше остаточной вариации сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия объема инвестиций в основной капитал и объема валового регионального продукта. =5,12 при степенях свободы и уровне значимости a=0,05. В силу того, что (14,00>5,12) нулевую гипотезу о статистической не значимости выявленной зависимости и ее параметрах можно отклонить с 5%-ой вероятностью допустить ошибку.

    Определим теоретические значения результата:

      и т.д.

    Оценку  качества модели дадим с помощью  средней ошибки аппроксимации:

     =48,36 % .

    В данном случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 48,36 %. Она указывает на невысокое качество построенной логарифмической модели и ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора Х (относительно его среднего значения ).

    Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция  описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи   (сравните с ), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 48,36 %, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

    Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчетная таблица:

Расчетная таблица (продолжение):

    Заключительным  этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

    Если  предположить, что прогнозное значение объема инвестиций в основной капитал составит 1,062 от уровня его средней:

     =1,062*6,8642= 7,290 млрд. руб.

     =-0,166+3,016*7,290=21,820 млрд. руб.

    То  есть прирост фактора на 6,2 % приводит к приросту результата на 6,3% 

    Рассчитаем  интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии -   и ошибки прогноза положения регрессии - . То есть,

    В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.

    Тогда   (млрд. руб.).

    Ошибка  положения регрессии составит:

    Интегральная  ошибка прогноза составит:

     (млрд. руб.).

    Предельная  ошибка прогноза, которая не будет  превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит:

     = 2,26*11,05 = 24,973 ≈ 2,0 (млрд. руб.).

    Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9  составит 2,26.

    Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

    Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном  интервале  . Верхняя граница доверительного интервала составит (млрд. руб.).

    Нижняя  граница доверительного интервала  составит:

      млрд. руб.).

    Точность выполненного прогноза  весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой, тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся. 

    Задача 2.

    Проводится  анализ значений социально-экономических  показателей по территориям  Северо-Западного  федерального округа РФ за 2000 год.

    Y – Валовой региональный  продукт, млрд. руб.;

      – Инвестиции 2000 года в основной  капитал, млрд. руб.;

      – Среднегодовая  стоимость  основных  фондов в экономике,  млрд. руб.;

      – Кредиты,  предоставленные  в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.

    Требуется изучить влияние  указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

    Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям  выявил наличие одной  территории (г. Санкт-Петербург) с аномальными  значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.

    При обработке исходных данных получены следующие  значения:

    А) - линейных коэффициентов  парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:

    N=9.