Контрольная работа по "Эконометрика". 17

ЗАДАЧА 1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ 

ВАРИАНТ 1

1. Рассчитайте параметры уравнений линейной  и степенной регрессии.
2. Оцените тесноту связи в обеих моделях с помощью показателей корреляции и детерминации.
3. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
4. Оцените статистическую надежность регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера.
5. По рассчитанным характеристикам выберите лучшее уравнение регрессии и дайте обоснование своего выбора.

Таблица 6

Решение:

I. Расчет параметров линейной функции.

1. Введем данные в таблицу Excel:

2. Рассчитаем  параметры уравнения  y= a + bx

- с помощью статистической функции ЛИНЕЙН.

Получаем  следующую статистику: 

-  по формуле:

         0,39                                      

         123,75         

3. Запишем уравнение парной линейной регрессии: y=123,75 + 0,39 x

Экономический смысл уравнения: с увеличением средней заработной платы и выплат социального характера на 1 тыс. рублей в месяц потребительские расходы в расчете на душу населения увеличиваются на 0,39 %. 

4. Рассчитаем  коэффициент корреляции:

s_у =82,89;   s_х = 125,16;   b =0,39

• по формуле: 0,59;
• с помощью статистической функции КОРРЕЛ - 0,59

Связь между переменными x и y прямая, средняя, умеренная, т.е. потребительские расходы в расчете на душу населения не в значительной мере зависят от средней заработной платы и выплат социального характера. 

5. Из расчетной таблицы (п. 2) коэффициент детерминации равен

R² = 0,35 и означает, что лишь в 35 случаях из 100 изменения средней заработной платы и выплат социального характера приводят к изменениям потребительских расходов в расчете на душу населения. Другими словами точность подбора уравнения регрессии – 35% - средняя, близка к низкой. 

6)  Определим  величину средней ошибки аппроксимации по формуле:

Данные  расчетов приведены в таблице (п.2). Ошибка аппроксимации равна 14%. Таким образом, качество модели плохое, хотя его можно считать допустимым для социально-экономических значений. 

7. Оценим  статистическую значимость полученного  уравнения регрессии с помощью  критерия Фишера:

а) Выдвигаем  нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров регрессии и показателя корреляции ;

б) Фактическое значение критерия получено из функции ЛИНЕЙН -

F_факт. = 7,93

в) Табличное значение критерия дано в условии задачи .

г) Сравниваем фактическое и табличное значения критерия:  , т.е. нулевую гипотезу отклоняем и делаем вывод о статистической значимости и надежности полученной модели. 

II. Расчет параметров степенной функции

1) Рассчитаем параметры степенного уравнения у = ах^b  , для этого проведем линеаризацию переменных. Прологарифмируем обе части уравнения:

lgy = lga + blgx;

Y = C + bX

где Y = lgy, X = lgx, C = lga. 

2)  
 
 
 

Рассчитаем  С и b по формулам:

      0,78      0,38

Получаем линейное уравнение: Y = 0,38 + 0,78X 

Итак, C = lga, 0,38 = lga, a= 2,4

Степенное уравнение: у =2,4х^0,78  

Экономический смысл уравнения: с увеличением  прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц на 1% от своего среднего уровня средний размер назначенных ежемесячных пенсий в среднем увеличивается на 0,13%. 

6. Рассчитаем  индекс корреляции по формуле:

= 0,53 

Связь между переменными  x и y прямая, средняя, т.е. средний размер назначенных ежемесячных пенсий не в значительной мере зависит от прожиточного минимума пенсионера в месяц. 

7. Индекс  детерминации равен: = 0,28 и означает, что лишь в 28 случаях из 100 изменения прожиточного минимума пенсионера в месяц приводят к изменениям среднего размера назначенных ежемесячных пенсий. Другими словами точность подбора степенного уравнения регрессии – 28% - низкая.
8. Оценим статистическую значимость полученного уравнения регрессии с помощью критерия Фишера:

а) Выдвигаем  нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров регрессии и индекса корреляции;

    б) Рассчитаем значение F–критерия Фишера:

= 4,2 

в) Для определения табличного значения критерия рассчитываем коэффициенты и -

г) Сравниваем фактическое и табличное значения критерия: , т.е. нулевую гипотезу принимаем и делаем вывод о статистической незначимости и ненадежности полученной модели. 
 
 
 

Несмотря  на то, что показатели степенной  функции имеют тенденцию, модель остается незначимой, так как имеют место другие ошибки измерения. 
 

9. Для сравнения  линейной и степенной моделей  регрессии сведем рассчитанные показатели в таблицу:

В данной задаче линейная зависимость лучше  описывает исходные данные, так как данная модель является статистически значимой и надежной, а коэффициенты корреляции и детерминации выше, чем аналогичные индексы в нелинейной модели, которая ко всему является статистически незначимой и ненадежной по критерию Фишера. 

ЗАДАЧА 2. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ 

    По  данным газеты «Из рук в руки» собрать данные о стоимости квартир на вторичном рынке г. Ижевска за определенный период. Выборка должна содержать не менее 60 наблюдений. В качестве факторов, влияющих на стоимость квартиры взять: число комнат в квартире,  общую площадь квартиры, жилую площадь квартиры, площадь кухни, район города (центральный - 0, отдаленный - 1), тип дома (кирпичный – 1, другой - 0). Построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов. Оценить экономический смысл и значимость полученного уравнения.

   Y – цена квартиры, тыс.дол.

   Х1 – общая площадь квартиры, кв.м.

   Х2 – число комнат в квартире

   Х3 – жилая площадь квартиры, кв.м.

   Х4 – площадь кухни, кв.м. 

   В задаче использовались выборка о  ценах на квартиры в городе Ижевске  за 2007 год из журнала «Обмен-продажа жилья» №  10. 2007 г.

   С помощью функции Регрессия мы получили 3 таблицы: 

     Запишем множественное линейное уравнение  регрессии: 

   y= -852,34 + 77,96x1 - 743,19x2 + 25,75x3 - 0,13x4  

   Из  полученного уравнения можно  сделать следующие выводы:

• При увеличении общей площади квартиры цена квартиры увеличивается на 77,96 тыс. рублей.
• При увеличении числа комнат в квартире цена квартиры уменьшается на 743,19тыс. рублей.
• При увеличении жилой площади квартиры цена квартиры увеличивается на 25,75 тыс. рублей.
• При увеличении площади кухни цена квартиры уменьшается на 0,13 тыс. рублей.

   R = 0,96  - коэффициент корреляции близок к 1, поэтому можно говорить о тесной связи между изучаемыми переменными.

   R² = 0,92 -  коэффициент так же высок, и означает высокую точность подбора регрессионного уравнения, что в 93 случаях из 100 изменения переменных x приводят к изменениям цены квартиры.

   Так как  , то подтверждается статистическая значимость и надежность модели. 

   Воспользуемся корреляционной матрицей для исследования  множественной регрессии, при этом добавим еще две фиктивные переменные – район и тип дома. 

   Из  матрицы видно, что наиболее сильное  влияние на цену оказывают общая площадь (0,94), жилая площадь (0,88), меньшее, но тоже значительное – число комнат (0,7) и площадь кухни (0,67).

   Коэффициент -0,22 при переменной х5 (район) означает, что при прочих равных условиях цена квартиры в периферийном районе на 0,22 тыс. рублей меньше, чем в центре.

   Коэффициент 0,11 при переменной х6 (тип дома) означает, что при прочих равных условиях цена квартиры в кирпичном доме на 0,11 тыс. рублей выше, чем в прочих домах.

   Так же из корреляционной матрицы видна  тесная связь между факторами:

• жилая и общая площадь (0,97)
• число комнат и жилая площадь (0,93)
• число комнат и общая площадь (0,87)
• общая площадь и площадь кухни (0,67),

следовательно, эти факторы также влияют друг на друга вне зависимости от цены квартиры. 
 
 

Приложение (данные по задаче 2)