Контрольная работа по "Эконометрика". 26

Эконометрика

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  РАБОТЫ

 

I. По некоторым районам Дальнего Востока было проведено выборочное обследование жителей с целью оценить возможную связь между уровнем жизни выраженным в среднедушевом доходе на каждого члена семьи и суммой затрачиваемой на различные виды страхования и построить оптимальную модель данной зависимости. Имеются данные о среднедушевом доходе по отдельным районам (Х) и средней суммой страховых издержек (У), таблица 1.

Требуется:

1. Рассчитать параметры линейной, степенной, показательной и гиперболической функций и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А)  и  F- критерий Фишера;
2. Оценить тесноту связи между факторами (рассчитать линейный коэффициент корреляции (r)  и корреляционное отношение (R).
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз суммы страховых издержек (У) при прогнозном значении среднедушевого дохода (Х) - 1409 руб.

Таблица 1

Номер района	Среднедушевой доход(руб.)	Сумма страховых издержек (руб)
1	992	44
2	876	45
3	1020	43
4	1102	42
5	758	52
6	987	78
7	762	42
8	1194	75
9	1346	98
10	1285	88
11	1146	64
12	1006	74
13	1084	62
14	1126	65

 

Решение.

Произведем сортировку данных таблицы по факторному признаку – среднедушевому доходу.

Номер района	Среднедушевой доход (руб.)	Сумма страховых издержек (руб)
5	758	52
7	762	42
2	876	45
6	987	78
1	992	44
12	1006	74
3	1020	43
13	1084	62
4	1102	42
14	1126	65
11	1146	64
8	1194	75
10	1285	88
9	1346	98

 

1. Рассчитаем параметры линейной функции на основании метода наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений. Исходные данные и расчетные показатели представим в таблице.

Номер района	Среднедушевой доход (руб.), X	Сумма страховых издержек (руб.), Y	X2	XY
5	758	52	574564	39416
7	762	42	580644	32004
2	876	45	767376	39420
6	987	78	974169	76986
1	992	44	984064	43648
12	1006	74	1012036	74444
3	1020	43	1040400	43860
13	1084	62	1175056	67208
4	1102	42	1214404	46284
14	1126	65	1267876	73190
11	1146	64	1313316	73344
8	1194	75	1425636	89550
10	1285	88	1651225	113080
9	1346	98	1811716	131908
Итого	14684	872	15792482	944342

 

Составим уравнение  прямой:

Подставляя в полученное уравнение Х, получим теоретическое значение Y.

Составим расчетную  таблицу:

 

Номер района	Среднедушевой доход(руб.), X	Сумма страховых издержек (руб.), Y	Yтеор	Y-Yтеор
5	758	52	40,181	11,819	0,227288
7	762	42	40,485	1,515	0,036071
2	876	45	49,149	-4,149	0,0922
6	987	78	57,585	20,415	0,261731
1	992	44	57,965	-13,965	0,317386
12	1006	74	59,029	14,971	0,202311
3	1020	43	60,093	-17,093	0,397512
13	1084	62	64,957	-2,957	0,047694
4	1102	42	66,325	-24,325	0,579167
14	1126	65	68,149	-3,149	0,048446
11	1146	64	69,669	-5,669	0,088578
8	1194	75	73,317	1,683	0,02244
10	1285	88	80,233	7,767	0,088261
9	1346	98	84,869	13,131	0,13399
Итого	14684	872	872,006	-0,006	2,543075
Ср.знач.	1048,857143	62,28571429	62,28614	-0,00043	0,181648
σ	167.31	17,78
σ2	27933.12	316.204

 

 

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации  для этого уравнения по формуле:

- довольно большая ошибка, что  означает возможную недостаточную  адекватность уравнения регрессии.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

- связь прямая, сильная.

Определим коэффициент  детерминации:

.

Данный коэффициент  означает, что вариация результата Y на 51.12% объясняется вариацией фактора х.

 

Рассчитаем F-критерий:

.

По таблице Фишера (уровень значимости ) определяем .

Поскольку F_факт > F_табл, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

 

2. Рассчитаем параметры  уравнения параболы.

Исходные данные и  расчетные показатели представим в  таблице.

№	X	Y	X2	XY	X3	X4	X2Y
5	758	52	574564	39416	435519512	330123790096	29877328
7	762	42	580644	32004	442450728	337147454736	24387048
2	876	45	767376	39420	672221376	588865925376	34531920
6	987	78	974169	76986	961504803	949005240561	75985182
1	992	44	984064	43648	976191488	968381956096	43298816
12	1006	74	1012036	74444	1018108216	1024216865296	74890664
3	1020	43	1040400	43860	1061208000	1082432160000	44737200
13	1084	62	1175056	67208	1273760704	1380756603136	72853472
4	1102	42	1214404	46284	1338273208	1474777075216	51004968
14	1126	65	1267876	73190	1427628376	1607509551376	82411940
11	1146	64	1313316	73344	1505060136	1724798915856	84052224
8	1194	75	1425636	89550	1702209384	2032438004496	106922700
10	1285	88	1651225	113080	2121824125	2726544000625	145307800
9	1346	98	1811716	131908	2438569736	3282314864656	177548168
Итого	14684	872	15792482	944342	17374529792	19509312407522	1047809430

 

Определим параметры  уравнения параболы на основе метода наименьших квадратов.

Выполняя преобразование Гаусса, находим корни уравнений:

Мы нашли параметры  уравнения параболы:

Подставляя в полученное уравнение Х, получим теоретическое значение Y.

Составим расчетную  таблицу:

 

Номер района	Среднедушевой доход(руб.), X	Сумма страховых издержек (руб), Y	Yтеор	Y-Yтеор
5	758	52	48,38719	3,612812	0,069477
7	762	42	48,32255	-6,32255	0,150537
2	876	45	48,72679	-3,72679	0,082818
6	987	78	53,29122	24,70878	0,316779
1	992	44	53,59369	-9,59369	0,218038
12	1006	74	54,48501	19,51499	0,263716
3	1020	43	55,4418	-12,4418	0,289344
13	1084	62	60,64935	1,350648	0,021785
4	1102	42	62,36047	-20,3605	0,484773
14	1126	65	64,81029	0,189708	0,002919
11	1146	64	66,99877	-2,99877	0,046856
8	1194	75	72,79621	2,203788	0,029384
10	1285	88	85,89957	2,100425	0,023868
9	1346	98	96,23157	1,768428	0,018045
Итого	14684	872	871,9945	0,005506	2,018339

П

 

 

Р

 

 

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации для этого уравнения по формуле:

- величина ошибки на 3,74 % ниже по сравнению с  уравнением прямой.

Определим теоретическое корреляционное отношение:

- указывает на сильную прямую  связь между двумя признаками.

Коэффициент детерминации представляет собой подкоренное выражение  корреляционного отношения:

  , и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного признака, т.е. вариация суммы страховых издержек на 62,41% объясняется вариацией среднедушевого дохода.

Рассчитаем F-критерий:

.

По таблице Фишера (уровень значимости ) определяем .

Поскольку F_факт > F_табл, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

 

Рассчитаем параметры  уравнения гиперболы.

Исходные данные и  расчетные показатели представим в  таблице:

Номер района	Среднедушевой доход(руб.), X	Сумма страховых издержек (руб), Y	X2	1/X	1/X2	Y/X
5	758	52	574564	0,001319	0,00000174	0,06860158
7	762	42	580644	0,001312	0,00000172	0,05511811
2	876	45	767376	0,001142	0,00000130	0,05136986
6	987	78	974169	0,001013	0,00000103	0,07902736
1	992	44	984064	0,001008	0,00000102	0,04435484
12	1006	74	1012036	0,000994	0,00000099	0,07355865
3	1020	43	1040400	0,00098	0,00000096	0,04215686
13	1084	62	1175056	0,000923	0,00000085	0,05719557
4	1102	42	1214404	0,000907	0,00000082	0,03811252
14	1126	65	1267876	0,000888	0,00000079	0,05772647
11	1146	64	1313316	0,000873	0,00000076	0,05584642
8	1194	75	1425636	0,000838	0,00000070	0,06281407
10	1285	88	1651225	0,000778	0,00000061	0,06848249
9	1346	98	1811716	0,000743	0,00000055	0,07280832
Итого	14684	872	15792482	0,013718	0,000013841	0,8271731

 

 

Нормальные уравнения  метода наименьших квадратов для  гиперболы таковы:

 

 

Мы нашли параметры  уравнения гиперболы:

;

.

Подставляя в полученное уравнение  Х, получим теоретическое значение Y.

Составим расчетную таблицу:

Номер района	Среднедушевой доход(руб.), X	Сумма страховых издержек (руб), Y	Yтеор	Y-Yтеор
5	758	52	41,28173	10,71827441	0,20612066
7	762	42	41,7103	0,28969554	0,00689751
2	876	45	52,27947	-7,27947032	0,16176601
6	987	78	60,22452	17,77547923	0,22789076
1	992	44	60,54056	-16,54055645	0,37592174
12	1006	74	61,40874	12,59125646	0,17015211
3	1020	43	62,2531	-19,25309804	0,44774647
13	1084	62	65,83526	-3,83526199	0,06185906
4	1102	42	66,76778	-24,76777858	0,58970901
14	1126	65	67,96476	-2,96475666	0,04561164
11	1146	64	68,92394	-4,92394066	0,07693657
8	1194	75	71,09488	3,90512228	0,05206830
10	1285	88	74,76541	13,23459144	0,15039308
9	1346	98	76,94802	21,05197920	0,21481611
Итого	14684	872	871,9985	0,00153584	2,787889

Рассчитаем среднюю  ошибку аппроксимации для этого  уравнения по формуле:

- ошибка больше, чем для предыдущих  уравнений; уравнение регрессии  выбрано неудачно.

Индекс корреляции:

- указывает на прямую, умеренную связь (значение показателя ниже, чем в предыдущих случаях).

По таблице Фишера (уровень значимости ) определяем .

Поскольку F_факт > F_табл, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

 

Рассчитаем параметры  уравнения степенной функции. Построению степенной модели предшествует процедура  линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

,

,

где Y = lg(y), X = lg(x), C = lg(a).

Для расчетов используем данные таблицы:

№	X	Y	XY
5	2,879669	1,71600334	4,94152199	0,1913
7	2,881955	1,62324929	4,67813136	0,0072
2	2,942504	1,65321251	4,86458461	0,1000
6	2,994317	1,89209460	5,66553132	0,2741
1	2,996512	1,64345268	4,92462513	0,2942
12	3,002598	1,86923172	5,61255139	0,2182
3	3,0086	1,63346846	4,91445348	0,3665
13	3,035029	1,79239169	5,43996126	0,0150
4	3,042182	1,62324929	4,93821911	0,5265
14	3,051538	1,81291336	5,53217471	0,0106
11	3,059185	1,80617997	5,52543799	0,0469
8	3,077004	1,87506126	5,76957162	0,0643
10	3,108903	1,94448267	6,04520826	0,1337
9	3,129045	1,99122608	6,23063612	0,1804
Итого	42,20904	24,87621692	75,0826083	2,42901
Cр.зн.	3,014932	1,776872637	5,36304345
σ	0,0719
σ2	0,00517

 

Рассчитаем С и b:

,

.

 

Получено линейное уравнение: . Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

.

Ошибка аппроксимации  для этого уравнения равна 242,901/14=17,35 %, что говорит о том, что уравнение регрессии выбрано неудачно.

 

Построению уравнения  показательной кривой  предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

,

.

Для расчетов используем данные таблицы:

№	x	Y	xY
5	758	1,71600334	1300,731	0,099
7	762	1,62324929	1236,916	0,361
2	876	1,65321251	1448,214	0,285
6	987	1,89209460	1867,497	0,251
1	992	1,64345268	1630,305	0,329
12	1006	1,86923172	1880,447	0,208
3	1020	1,63346846	1666,138	0,364
13	1084	1,79239169	1942,953	0,048
4	1102	1,62324929	1788,821	0,408
14	1126	1,81291336	2041,340	0,088
11	1146	1,80617997	2069,882	0,072
8	1194	1,87506126	2238,823	0,204
10	1285	1,94448267	2498,660	0,316
9	1346	1,99122608	2680,190	0,382
Итого	14684	24,87621692	26290,9177	3,414178489
Cр.зн.	1048,857	1,776872637	1877,922693	0,24386
σ	167,132
σ2	27933,12

 

Значения параметров регрессии А и В составили:

,

.

 

Получено линейное уравнение: . Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

.

Ошибка аппроксимации  для данного уравнения равна 24,39 %, это значение больше предыдущих, что говорит о том, что уравнение подобрано менее удачно.

 

На основании результатов проверки адекватности моделей и статистической оценки значимости параметров, было установлено, что оптимальной является параболическая зависимость (самые высокие показатели тесноты связи и наименьшая ошибка аппроксимации); почти такие же показатели имеет линейная модель зависимости, поэтому прогноз мы будем составлять по ней.

Используя линейную модель, выполним прогноз суммы страховых  издержек при прогнозном значении среднедушевого дохода 1409 руб. Для этого вычислим остаточную дисперсию:

 – общая сумма квадратов;

 – факторная сумма квадратов;

 – остаточная сумма квадратов;

Остаточная дисперсия  равна:

.

Вычислим стандартную  ошибку предсказываемого значения y:

При

.

 

При

.

т.е.   или .

При х_k. = 1409 прогнозное значение у составит  , которое представляет собой точечный прогноз. Прогноз линии регрессии в интервале составит:

59,038 ≤ ≤ 120,276.

 

2. Как изменится объем производства описываемый производственной функцией

 

Q_t =A * K^a *L^b                     ,

        если L увеличить на 1%?

 

Ответ:

Q_t  (объем производства) увеличится на β %.

 

III. Какие методы используются при нахождении оценок параметров системы одновременных эконометрических уравнений?

 

1. Метод наименьших квадратов – но его применение для получения оценок системы одновременных уравнений приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами.
2. В настоящее время наиболее часто используют двухшаговый метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению системы в отдельности. Двухшаговый метод наименьших квадратов (2 МНК) применяют для оценки отдельного уравнения системы одновременных уравнений. Сущность этого метода состоит в том, что для оценивания параметров структурного уравнения, метод наименьших квадратов применяют в два этапа. Он дает состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно простым и удобным для вычисления.
3. Также используется трехшаговый метод наименьших квадратов, предназначенный для оценивания всей системы в целом.