Контрольная работа по «Эконометрика». 2. 4

Министерство  образования и  науки российской федерации

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

  Российский государственный  торгово-экономический  университет

челябинский институт (филиал)

Кафедра Экономики и управления на предприятии

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 8 

Выполнил:

Студент 3 курса  на базе средне-специального образования

Специальность: Бухгалтерский учет, анализ и аудит 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Челябинск

2011-2012

     СОДЕРЖАНИЕ 

    Задание № 1 …………………………………………………………………. 3

    Задание № 2 …………………………………………………………………. 7

    Список  литературы……………………………………………………….14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ЗАДАНИЕ №1

    В таблице 1 приведены статистические данные по России за 2005–2010гг.

Таблица 1 – «Статистические  данные за 2005-2010 г.г. 

                                                                          (тыс. чел.)

1. Произвести  расчет:

- коэффициентов a₀ и a₁ линейного тренда и рассчитать прогноз на год вперед;

- коэффициентов параболического тренда a₀, a_1, a_{3 ,} рассчитать прогноз на 2011 год.

2. На основе произведенных расчетов сделать выводы.

Таблица 2 – «Расчет коэффициента линейного тренда»

Уравнение кривой линейного тренда (прямая) (полином 1 степени):

ŷ = + * t,

где  ŷ – линейный тренд;

      t  - промежуток времени (1 год);

       - средний ряд;

       - изменение, прирост;

а₀ = ∑y / n

а₀ = 871449 / 6 = 145241,50

а₁ = ∑yt / ∑t²

а₁ = - 24173 / 70 = - 345,33

Прогноз на следующий год:

ŷ = 145241,50 – 345,33 * 7 = 145241,50 – 2417,31 =  142824,19

Т.о., величина среднего уровня ряда при t = 0 составляет 145241,50, средне-годовое уменьшение численности населения составляет 345,33.

Прогноз: численность населения в 2011 году составит 142824,19 тыс. чел.

Таблица 3 – «Расчет коэффициента параболического тренда»

Уравнение  кривой параболического тренда (парабола) (полином 2 степени):

ŷ = а₀ + а₁ t + а₂ t²,

где  ŷ – параболический тренд;

      t  - промежуток времени (1 год);

       - средний ряд;

       - изменение, прирост;

       a₂ – изменение, ускорение роста.

а₀ = ∑y / n - ∑t² /n * {(n∑yt²) - ∑t² ∑y /[n∑t⁴ – (∑t²)²] }

а₀ = 871449/6 – 70/6 * {(6 * 10163961 – 70 * 871449) / [6 * 1414 – 70 ²]} =

    = 145241,5 – 11,666667 * (60983766 – 61001430) / (8484 – 4900) =

    = 145241,5 – 11,666667 * 17664 / 3584 = 145241,5 – 11,666667 * 4,9285714 =

    = 145241,5 – 57,5 = 145184

а_{1 =} ∑yt / ∑t²

а₁ = -24173 / 70 = - 345,33

а₂ = (n∑yt²) - ∑yt² / [n∑t⁴ – (∑t²)²]

а₂ = (6 * 10163961 – 70 * 871449) / (6 * 1414 – 70 ²) =

    = (60983766 – 61001430) / (8494 – 4900) = - 17664 / 3584 = - 4,929

(а₂ < 0, значит ветви параболы идут вниз)

ŷ = 145184 - 345,33 * 7 - 4,929 * 7² = 145184 – 2417,31 – 241,52 = 142525,17

Провожу визуальный анализ зависимости уровней ряда от времени, для этого построим графики трендов (рис 1):

Рисунок 1 - Визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени

       «Вывод: Визуально линейный тренд наиболее точно аппроксимирует исходные данные.

ЗАДАНИЕ №2

     Предполагается, что объем реализованного товара линейно зависит от цены товара. В таблице 4 приведены статистические данные за 11 месяцев.  

Таблица 4 - «Зависимость объема реализованного товара от цены»

     (тыс. руб.)

1. Оценить по МНК коэффициенты уравнения регрессии.
2. Провести оценку качества подбора линейной функции
3. Рассчитать прогноз на XII месяц.
4. Провести проверку:

• значимости отдельных коэффициентов регрессии по t-критерию Стьюдента;
• проверку значимости уравнения регрессии в целом F-критерием Фишера

5. Рассчитать прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 105% от среднего уровня

По полученным результатам расчетов сделать выводы. 

      Решение:

     Предположу, что связь между количеством реализованного товара и ценой линейная. Для подтверждения моего предположения построю первичное поле корреляции (рисунок 1).

                            Рисунок 2 – Первичное поле корреляции

По графику  видно, что точки выстраиваются  в некоторую линию.

Для удобства дальнейших вычислений составлю таблицу 5.

Таблица 5 - «Расчетные показатели»

      __   

       х = 508 / 11 = 46,182

     __2   

       х = (46,182)² = 2132,777

     __   

       х² = 26374 / 11 = 2397,636

     Ơ_х²  = 2397,636 – 2132,777= 264,859

     __   

       у = 369 / 11 = 33,545

     __2   

       у = (33,545)² = 1125,267

     __   

       у² = 12553 / 11 = 1141,182

     Ơ_у²  =  1141,182 – 1125,267= 15,915

     Ơ_х = √264,859 = 16,274

     Ơ_у = √15,915 = 3,989

     Рассчитаю параметры линейного уравнения парной регрессии . Для этого воспользуюсь формулами:

     а₁ = cov (ху) / Ơ_у

    а₁  = (1569,391 - 33,545*46,182) / 264,859 = (1569,391 –

     - 1549,175) / 264,859 = 20,216 / 264,859 = 0,076

     а₀  = 33,545 – 0,076 * 46,182 = 33,545 – 3,510 = 30,035

     Получилось уравнение:

     ŷ = а₀ + а₁*х

     ŷ = 30,035 + 0,076х

  Т.е. с цены на 1000 руб. количество реализованного товара увеличивается на 76 руб.

     ŷ₁ = 30,035 + 0,076 * 20 = 31,555

     ŷ₂ = 30,035 + 0,076 * 35 = 32,695

     ŷ₃ = 30,035 + 0,076 * 30 = 32,315

     ŷ₄ = 30,035 + 0,076 * 45 = 33,455

     ŷ₅ = 30,035 + 0,076 * 60 = 34,595

     ŷ₆ = 30,035 + 0,076 * 70 = 35,355

     ŷ₇ = 30,035 + 0,076 * 75 = 35,735

     ŷ₈ = 30,035 + 0,076 * 43 = 33,303

     ŷ₉ = 30,035 + 0,076 * 35 = 32,695

     ŷ₁₀ = 30,035 + 0,076 * 40 = 33,075

     ŷ₁₁ = 30,035 + 0,076 * 55 = 34,215

     На  основании уравнения корреляции построю поле корреляции (рисунок 3).

     Произведу оценку значимости уравнения регрессии в целом и отдельных его параметров. Проверю значимость уравнения регрессии, т.е. установлю соответствует ли математическая модель экспериментальным данным (адекватность модели) и достаточно ли включённых в уравнение регрессии объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Для оценки качества модели из относительных отклонений по каждому наблюдению определю среднюю ошибку аппроксимации.

     Найду величину средней ошибки аппроксимации Е_отн:

     Е_отн = |(y – ŷ)/ y| * 100%

     Е_{отн 1} = |(y₁ – ŷ₁)/ y₁| * 100% = |-2,355/29,2| * 100% = 8,065

     Е_{отн 2} = |(y₂ – ŷ₂)/ y₂| * 100% = |-3,495/29,2| * 100% = 11,969

     Е_{отн 4} = |(y₄ – ŷ₄)/ y₄| * 100% = |-3,355/30,1| * 100% = 11,146

     Е_{отн 5} = |(y₅ – ŷ₅)/ y₅| * 100% = |-2,395/32,2| * 100% = 7,438

     Е_{отн 6} = |(y₆ – ŷ₆)/ y₆| * 100% = |-2,355/33| * 100% = 7,136

     Е_{отн 7} = |(y₇ – ŷ₇)/ y₇| * 100% = |-1,635/34,1| * 100% = 4,795

     Е_{отн 8} = |(y₈ – ŷ₈)/ y₈| * 100% = |1,297/34,6| * 100% = 3,749

     Е_{отн 9} = |(y₉ – ŷ₉)/ y₉| * 100% = |3,005/35,7| * 100% = 8,417

     Е_{отн 10} = |(y₁₀ – ŷ₁₀)/ y₁₀| * 100% = |6,395/39,4| * 100% = 16,053

     Е_{отн 11} = |(y₁₁ – ŷ₁₁)/ y₁₁| * 100% = |7,585/41,8| * 100% = 18,146

     Е_{отн =} Е_{отн 1} + Е_{отн 2} + Е_{отн 3} + Е_{отн 4} + Е_{отн 5} + Е_{отн 6} + Е_{отн 7} + Е_{отн 8} + Е_{отн 9} +

     + Е_{отн 10} + Е_{отн 11} = 8,065 + 11,969 + 8,805 + 11,146 + 7,438 + 7,136 +

     + 4,795 + 3,749 + 8,417 + 16,053 + 18,146 = 105,719

     __       

     Е_отн = 105,719/ 11 = 9,61

     Уравнение регрессии дополню показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции.

Расчет  линейного коэффициента корреляции :

     r_ху = a₁ * Ơ_х / Ơ_у = 0,076 * 16,274 / 3,989 = 0,31

Расчет  коэффициента детерминации :

     r_ху² = (0,31)² = 0,096

     Коэффициент детерминации r_ху² = 0,096, т.е. далек от единицы, что говорит о том, что соответствующее уравнение регрессии объясняет относительное среднее 9,6 % дисперсии результативного признака (в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,6%), а на долю прочих факторов приходится лишь 90,4% и указывает, что объясняемая регрессия в доле дисперсии результативного признака не велика.

     Оценю качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Произведу расчет фактического значения -критерия:

      Формула Фишера:

     F_расч = (r_ух² / 1- r_ух²) * (n – k – 1)

     где

     n- количество наблюдений,

     k – количество факторов, включенных в модель (степеней свободы) 

     Из  условия задачи модель линейная однофакторная, т.е. k = 1, отсюда:

      F_расч = (r_ух² / 1- r_ух²) * (n – 2)

      F_расч = (0,096/ 1- 0,096) * (11 – 2) = (0,096/ 0,904) * 9 = 0,956 

      F_табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайного фактора при степени свободы для линейной регрессии и уровне значимости А (вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна) равном 0,05. F_табл выбираю из таблицы распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

      А = 0,05; k₁ = 1; k₂ = n-2 = 11-2 = 9

      F_табл = (А, k₁, k₂) = (0,05; 1; 11-2) = (0,05; 1; 9) = 5,12

      Итак,

      F_расч = 0,956

   F_табл = 5,12

        F_расч < F_табл

     В этом случае уравнение считается  статистически незначимым. Т.е. полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи, то есть гипотеза не может быть отвергнута, т.к. есть риск неправильного вывода о наличии связи. Т.о., теснота выявленной зависимости сравнительно невысока при небольшом числе наблюдений.

     Следовательно, дальнейшая оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции и расчет -критерия Стьюдента и доверительных интервалов каждого из показателей не имеют смысла.  

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики [Текст]: учебник/ С.А. Айвазян, В. С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.-205с.
2. Берндт, Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность [Текст]: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям 060000 экономика и управление / пер. с англ. под ред. проф. С. А. Айвазяна. / Э. Р. Берндт. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.-180с.
3. Джонстон, Дж. Эконометрические методы [Текст]: учебник/ Дж. Джонстон. – М.: Статистика, 1980. – 253с.
4. Доугерти, К. Введение в эконометрику [Текст]: учебник/ К. Доугерти. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 203с.
5. Кремер, Н. Ш., Эконометрика [Текст]: учебник/Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.– М.: ЮНИТИ, 2002.- 218с.
6. Магнус, Я. Р.,. Эконометрика. Начальный курс [Текст]: учебник/ Я.Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. — М.: Дело, 2005.- 286с
7. Тихомиров, Н. П. Эконометрика [Текст]: учебник/ Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина. – М.: Экзамен, 2003. – 217с.
8. Елисеева, И.И. Эконометрика [Текст]: учебник/ И.И. Елисеева. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 301с.